§ 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498

Частные решения вида

которые были использованы в § 498 для случая 1, можно использовать и для случая 3, если ввести в рассмотрение комплексные числа и определить комплексную степень числа как это было сделано в § 409. Формулы (1) запишутся теперь так:

где Действительные числа. Выражения (2) представляют пару комплексных функций действительного аргумента Так как эти функции дифференцируются по обычным правилам (§ 408), то они являются решениями уравнения также и в случае 3. Эти решения не удовлетворяют нас, так как они не являются действительными. Но из них можно вывести и действительные решения. В самом деле, применив формулу Эйлера (§ 410), мы можем представить решения (2) в виде

Функция является решением при любых постоянных значениях (§ 496). Положив сначала а в другой раз мы получим два действительных решения:

Они и были использованы в случае 3 § 498.