§ 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
Решение уравнения
при начальных условиях
можно искать в виде ряда, расположенного по степеням
т. е. в виде
Множители
находятся по методу неопределенных коэффициентов или другими способами (§ 307).
Метод рядов в применении к дифференциальным уравнениям систематически применялся И. Ньютоном (§ 292). В противоположность методу Эйлера, дающему решение в виде таблицы (§ 490), здесь решение получается в виде формулы. Но последняя не подходит вне промежутка сходимости ряда. Теоретически возможны и такие случаи, когда решение не представимо рядом (ср. § 400). Теоретическое исследование вопроса было выполнено О. Л. Коши. Аналогичный вопрос для уравнений с частными производными исследовала С. В. Ковалевская.
Несмотря на вышеуказанные ограничения, метод рядов имеет важное практическое значение.
Пример. Найти решение уравнения
при начальных условиях
Решение. Согласно формуле (2) полагаем:
Коэффициенты
пока не известны. Дифференцируя (4), находим:
Подставив уравнения (4) и (5) в (3), получаем:
Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях буквы
Получаем соотношения
Из них последовательно находим коэффициенты
Искомое решение имеет вид
При
получаем:
(ср. таблицу § 490).
Разложение (9) совпадает с разложением функции
Другое решение. Дифференцируя последовательно равенство (3), находим:
и т. д. Подставляя в (3) начальные значения
находим
затем из (11) получаем:
Таким же образом находим:
и т. д. Подставляя найденные значения в ряд Тейлора
снова получаем ряд (9).