§ 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Решение уравнения

при начальных условиях можно искать в виде ряда, расположенного по степеням т. е. в виде

Множители находятся по методу неопределенных коэффициентов или другими способами (§ 307).

Метод рядов в применении к дифференциальным уравнениям систематически применялся И. Ньютоном (§ 292). В противоположность методу Эйлера, дающему решение в виде таблицы (§ 490), здесь решение получается в виде формулы. Но последняя не подходит вне промежутка сходимости ряда. Теоретически возможны и такие случаи, когда решение не представимо рядом (ср. § 400). Теоретическое исследование вопроса было выполнено О. Л. Коши. Аналогичный вопрос для уравнений с частными производными исследовала С. В. Ковалевская.

Несмотря на вышеуказанные ограничения, метод рядов имеет важное практическое значение.

Пример. Найти решение уравнения

при начальных условиях

Решение. Согласно формуле (2) полагаем:

Коэффициенты пока не известны. Дифференцируя (4), находим:

Подставив уравнения (4) и (5) в (3), получаем:

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях буквы Получаем соотношения

Из них последовательно находим коэффициенты

Искомое решение имеет вид

При получаем: (ср. таблицу § 490).

Разложение (9) совпадает с разложением функции

Другое решение. Дифференцируя последовательно равенство (3), находим:

и т. д. Подставляя в (3) начальные значения находим затем из (11) получаем:

Таким же образом находим:

и т. д. Подставляя найденные значения в ряд Тейлора

снова получаем ряд (9).