§ 511. Архимедова спираль

1. Построение. Чтобы построить архимедову спираль с данным параметром проводим из центра О (рис. 494) произвольную окружность, например окружность радиуса

Делим ее точками на произвольное число равных дуг (мы взяли На луче откладываем отрезок (шаг спирали). Делим его на такое же число равных частей. На лучах откладываем отрезки . Получаем точки первого витка спирали. Точки второго витка получим, отложив на продолжениях отрезков отрезки равные шагу Аналогично получим точки следующих витков.

2. Особенности формы. Любой луч с началом в полюсе О имеет кроме точки О еще бесконечное множество точек общих со спиралью. Две последовательные точки отстают друг от друга на расстояние, равное шагу а Касательная к спирали в точке О совпадает с начальной прямой ОХ (это

Рис. 494

полезно учесть при построении спирали). Касательная в произвольной точке спирали получается из прямой поворотом последней на (острый) угол для которого

При угол а стремится к 90° и дуга спирали вблизи точки все более походит на дугу окружности.

3. Свойство нормали. Нормаль проведенная через точку архимедовой спирали с шагом а, пересекает прямую перпендикулярную полярному радиусу в точке отстоящей от О на расстоянии .

4. Построение касательной. Чтобы построить касательную в точке архимедовой спирали (см. рис. 494), поворачиваем луч около точки О на угол Точку где повернутый луч пересекает окружность радиуса с центром в О, соединяем с Прямая нормаль к спирали. Построив получаем искомую касательную. Касательная к левой спирали (см. § 75 и рис. 106) строится аналогично с тем лишь отличием, что луч поворачивается на угол .

5. Площадь S сектора (если полярные углы точек отличаются не более чем на ):

где .

Геометрически: сектор архимедовой спирали по площади равен среднему арифметическому трех круговых секторов, у которых угол тот же, что у сектора причем один из радиусов равен полярному радиусу другой — полярному радиусу третий — среднему пропорциональному между ними.

6. Площади витков. Формула (1) при дает площадь фигуры (см. рис. 494), ограниченной первым витком спирали и отрезком

где площадь круга радиуса

Площадь фигуры ограниченной вторым витком и отрезком

где площадь круга радиуса

Вообще площадь ограниченная витком спирали и отрезком выражается так:

где площадь круга радиуса

7. Площади колец. Назовем первым кольцом архимедовой спирали фигуру, образуемую движением отрезка полярного луча между первым и вторым завитками при повороте полярного луча из начального положения на 360°. Чтобы обойти эту фигуру вдоль ее периметра, надо пройти отрезок затем первый виток спирали, затем отрезок наконец, второй завиток (обратным движением).

Второе кольцо аналогично образуется отрезком полярного луча между вторым и третьим завитками. Оно ограничено: 1) отрезком вторым витком, 3) отрезком третьим витком (проходимым в обратном направлении).

Таким же образом определяются третье, четвертое и т. д. кольца.

Площадь кольца выражается так:

Здесь есть площадь первого завитка (нулевого кольца).

Свойства, изложенные в этом и предыдущих пунктах, были открыты Архимедом.

8. Длина l дуги ОМ

где острый угол между касательной (см. рис. 494) и полярным радиусом или

9. Радиус кривизны

В начальной точке