§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени

Здесь нужно различать два случая:

1) ни один из коэффициентов в уравнении

не равен нулю (так было в примере 1 § 61);

2) один из коэффициентов равен нулю (так было в примерах 2 и 3 § 61).

Случай 1. Уравнение

преобразуем так. Сумму дополняем членом получаем Сумму дополняем членом ; получаем . К правой части уравнения (4) для компенсации прибавляем Получаем уравнение вида

где

Переносим начало координат в точку т. е. преобразуем координаты (§ 35) по формулам

Получаем уравнение

Если , то разделим это уравнение на К. Получим:

Возможны три случая:

а) если обе величины положительны, то имеем эллипс;

б) если обе величины отрицательны, то имеем мнимый эллипс (ср. пример 5 § 58);

в) если одна из этих величин (все равно какая) положительна, а другая отрицательна, то имеем гиперболу.

Если же то уравнение (7) имеет вид

Возможны два случая:

г) если имеют различные знаки, то разлагается на множители первой степени, как разность квадратов; в обоих множителях коэффициенты действительны, и мы имеем пару пересекающихся прямых (ср. пример 1 § 58);

д) если имеют одинаковые знаки, то тоже разлагается на множители первой степени, но оба множителя содержат члены с мнимыми коэффициентами, и мы имеем пару мнимых пересекающихся прямых, т. е. одну действительную точку (ср. § 58, пример 4).

Пример 1. Уравнение (1а) примера 1 § 61 после поворота осей преобразовалось к виду

Это уравнение запишем в виде

т. е.

Переходя к новой системе координат с началом в точке по формулам

получаем:

или

Рис. 85

Исследуемое уравнение представляет эллипс с полуосями На рис. 85 (где единица масштаба) .

Центр эллипса находится в точке О с координатами помощью формул найдем координаты центра в промежуточной системе

На рис. 85 .

По формулам (За) § 61 найдем координаты центра в первоначальной системе :

Найдем уравнения осей эллипса в первоначальной системе. В системе большая ось представляется уравнением , в системе та же ось в силу второго уравнения (6а) представляется уравнением

Решив систему (За) относительно найдем:

Нам нужно только второе из этих уравнений; положив в нем получим уравнение большой оси в системе именно

или

Тем же способом найдем уравнение малой оси

Случай 2. Один из коэффициентов равен нулю. Уравнение (4) имеет вид

или

Рассмотрим уравнение вида (9) (для уравнения вида (9) вычисления те же, только меняются ролями).

Если то уравнение (9) можно разрешить относительно ; получим:

Имеем параболу. Координаты вершины определяются формулами (5) § 50 при

Если то уравнение (9) примет вид

Разложив левую часть уравнения (11) на множители первой степени, получим:

Уравнение (12) (а значит, и (11)) при представляет пару параллельных прямых, при пару мнимых параллельных прямых, при две слившиеся прямые (§ 58, примеры

Пример 2. Уравнение (16) примера 2 § 61 после поворота осей на угол 45° преобразовалось к виду

Разрешив его относительно у, получим:

Уравнение (106) (а значит, и (16)) представляет параболу (рис. 86);

Рис. 86

координаты х, у ее вершины А находим по формулам (5) § 50:

Координаты вершины можно найти и без помощи формул (5) § 50 (см. § 50, замечание 1).

По формулам (36) § 61 находим координаты вершины в первоначальной системе:

Найдем уравнение оси параболы. В новой системе эта ось представляется уравнением

Разрешив уравнения (36) относительно найдем:

Подставив в первое из этих уравнений (второе нам не нужно) получим:

или

Это — уравнение оси параболы в первоначальной системе.

Пример 3. Уравнение (1в) примера 3 § 61 после поворота осей на угол -45° преобразовалось к виду

Разложив левую часть уравнения (4в) на множители, получим:

т. е. имеем пару параллельных прямых на рис. 87):

Найдем уравнения этих прямых в системе Так как система получается из поворотом на +45°, то

Подставляя в первое из этих уравнений сначала одно, а потом другое значение (13), находим:

или

Это — уравнения прямых в первоначальной системе.

Рис. 87