§ 508. Улитка Паскаля; кардиоида

1. Определение и построение. Даны: точка О (полюс), окружность К диаметра (рис. 489), проходящая через полюс (основная окружность; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок Из полюса О проводим произвольную прямую От точки где прямая вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от отрезки Геометрическое место точек (жирная линия на рис. 489) называется улиткой Паскаля — в честь Этьена Паскаля (1588—1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля (1623—1662).

Рис. 489

Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалему современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды (см. § 507).

2. Уравнение в прямоугольной системе (начало координат — в полюсе ось ОХ направлена по лучу OB):

Строго говоря, это уравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса О, который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4 на рис. 489).

Уравнение в полярной системе (О — полюс, ОХ - полярная ось):

где меняется от какого-либо значения до

В отличие от (1) это уравнение представляет фигуру, содержащую только те точки, которые удовлетворяют определению улитки Паскаля.

Параметрические уравнения:

Рациональное параметрическое представление

3. Особенности формы. Улитка Паскаля симметрична относительно прямой Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке О (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками и

1) Когда (линия 1 жирная; для нее улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке О

образуя две петли: внешнюю и внутреннюю Угловой коэффициент касательных в узловой точке:

Для построения касательных достаточно провести хорды длины I в окружности К. Наиболее удаленным от оси точкам внешней петли отвечает значение

наиболее удаленным точкам внутренней петли — значение

Соответствующее значение полярного радиуса:

2) Когда (линия 2 на рис. 489), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча ОХ сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам отвечают значения

Линия 2 называется кардиоидой, т. е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741 г.). Она изображена отдельно на рис. 490.

3) Когда (линия 3; для нее ), улитка Паскаля — замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри

себя. Наиболее удаленным от оси точкам отвечает значение Лишившись точки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба которым отвечает значение . Угол под которым отрезок виден из полюса, по мере возрастания сначала возрастает от нуля до этому значению соответствует При дальнейшем увеличении угол убывает, стремясь к нулю при .

4) При точки перегиба, сливаясь с вершиной С, пропадают (причем кривизна в точке С становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях (линия для нее Наиболее удаленным от оси точкам отвечает значение

4. Свойство нормали. Нормаль улитки Паскаля в ее точке (рис. 490) проходит через точку основной окружности К, диаметрально противоположную той точке где пересекается с основной окружностью.

5. Построение касательной. Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке соединяем последнюю с полюсом О. Точку основной окружности К, диаметрально противоположную точке соединяем с Прямая будет нормалью к улитке. Проводя получим искомую касательную.

Рис. 490

6. Радиус кривизны в точках :

Последнее выражение предполагает, что (при точка О обособлена от улитки). В частности, для кардиоиды точки совпадают):

7. Площади. Площадь описываемая полярным радиусом улитки при полном обороте:

(Роберваль).

В случае отсутствия петли величина выражает площадь, ограниченную улиткой. При наличии петли имеет место равенство

где — площадь, ограниченная внешней петлей (с включением площади внутренней петли), площадь одной внутренней петли; по отдельности площади выражаются так:

где

где

Для кардиоиды

т. е. площадь кардиоиды равна шестикратной площади основного круга.

8. Длина дуги улитки Паскаля в общем случае не выражается через элементарные функции. Для кардиоиды длина дуги, отсчитываемой от вершины

Длина всей кардиоиды составляет 8а, т. е. равна восьмикратному диаметру основного круга.

9. Связь с окружностью. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных на касательные к окружности радиуса с центром В из какой-либо точки О, есть улитка Паскаля. Если точка О лежит в плоскости окружности В, то полюсом улитки является О, основная окружность строится на отрезке как на диаметре; постоянный отрезок I, откладываемый на полярном луче, равен радиусу окружности В.

Когда точка О лежит на окружности В, улитка Паскаля является кардиоидой.