§ 188. Два уравнения с двумя неизвестными

Рассмотрим систему уравнений

(каждое представляет плоскость в пространстве; ср. § 141).

Возможны три случая.

Случай 1. Из трех определителей

хотя бы один не равен нулю, т. е. коэффициенты при неизвестных не пропорциональны. Тогда система имеет бесчисленное множество решений, причем одному из неизвестных можно дать любое значение. Например, если то неизвестному 2 можно дать любое значение; неизвестные х, у определятся единственным образом (§ 187, случай 1) из системы

(плоскости (1) и (2) не параллельны, система представляет прямую, величины (3) — направляющие коэффициенты (§ 143)).

Случай 2. Все определители (3) равны нулю, но один из определителей

не равен нулю, т. е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но свободные члены не подчинены той же пропорции. В этом случае система не имеет решений (плоскости (1) и (2) параллельны, но не совпадают).

Случай 3. Все определители (3) и (4) равны нулю, т. е. и коэффициенты и свободные члены пропорциональны. Тогда система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, причем любые значения можно дать двум неизвестным. Например, если то любые значения можно дать неизвестным х, у (плоскости (1) и (2) совпадают). Пример 1. Решить систему

Здесь

Среди этих определителей есть не равные нулю. Значит, система имеет бесчисленное множество решений. Любое значение можно дать одному неизвестного или одному неизвестному так как и Неизвестному любого значения дать нельзя (ср. § 142, пример 5).

Решим систему относительно Имеем:

Отсюда

(Система представляет прямую, перпендикулярную оси

Пример 2. Система

не имеет решений, так как все определители (3) равны нулю (коэффициенты при неизвестных нропорциональны),

а определитель не равен нулю (свободные члены не пропорциональны коэффициентам).

(Плоскости параллельны, но не совпадают.)

Пример 3. Решить систему

Здесь и коэффициенты и свободные члены пропорциональны. Система сводится к одному уравнению. Любой паре неизвестных (скажем, ) можно дать произвольные значения (тогда ).

(Плоскости совпадают.)