§ 231. Дифференцируемые функции

Непрерывная функция, имеющая (в данной точке) дифференциал, называется дифференцируемой (в рассматриваемой точке).

Разрывная функция не может иметь в точке разрыва ни производной, ни дифференциала (график не имеет касательной; см. рис. 214 и рис. 219).

Функция, непрерывная в данной точке, может не иметь дифференциала в этой точке. Ниже рассмотрены три характерных случая.

Случай 1. Функция имеет в рассматриваемой точке бесконечную производную, т. е.

или

(т. е. имеет более низший относительно ). График имеет вертикальную касательную. Запись (условная):

Пример 1. Функция (рис. 231) не дифференцируема в точке Величина

имеет при бесконечный предел .

Касательная в точке совпадает с осью Замечание 1. Функция, имеющая (в данной точке) конечную производную, дифференцируема. Обратно, дифференцируемая функция имеет конечную производную.

Случай 2. Отношение не имеет предела при (т. е. функция не имеет производной), но имеет правосторонний предел (при § 219а) и левосторонний (при ). Первый называется правосторонней производной и обозначается второй — левосторонней и обозначается .

В рассматриваемой точке ( на рис. 232) у графика нет касательной, но есть правосторонняя касательная и левосторонняя касательная т. е. секущая стремится к совпадению с когда стремится к справа, и с когда стремится к слева.

Рис. 231

Рис. 232

Пример 2. Функция не дифференцируемая в точке Линия не имеет касательной в точке Правосторонняя производная левосторонняя производная

Случай 3. У функции нет правосторонней или левосторонней производной (или нет ни той, ни другой). График не имеет соответствующей односторонней касательной.

Пример 3. Функция, заданная формулой (рис. 234), при дополнительном значении выражение не имеет смысла при непрерывна в точке

Однако, когда стремится к 0 справа (или слева), секущая колеблется между прямыми и не стремится ни к какой прямой. График не имеет в точке О ни правосторонней, ни левосторонней касательной, а функция ни правосторонней, ни левосторонней производной.

Замечание 2. Можно придумать даже такие непрерывные функции, которые ни в одной точке не имеют производной.

Рис. 233

Рис. 234

Значит, существование производной не вытекает логически из непрерывности функций. Это было впервые указано великим русским математиком Н. И. Лобачевским.