§ 231. Дифференцируемые функции
Непрерывная функция, имеющая (в данной точке) дифференциал, называется дифференцируемой (в рассматриваемой точке).
Разрывная функция не может иметь в точке разрыва ни производной, ни дифференциала (график не имеет касательной; см. рис. 214 и рис. 219).
Функция, непрерывная в данной точке, может не иметь дифференциала в этой точке. Ниже рассмотрены три характерных случая.
Случай 1. Функция
имеет в рассматриваемой точке бесконечную производную, т. е.
Значит, существование производной не вытекает логически из непрерывности функций. Это было впервые указано великим русским математиком Н. И. Лобачевским.