§ 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам

Площадь криволинейной трапеции на рис. 357), расположенной над осью выражается (§ 316) интегралом

Для трапеции, лежащей под осью

Фигуры другой формы разбивают на трапеции (или дополняют до трапеции) и находят площадь, как сумму (или разность) площадей трапеций. Вычисление упрощается подходящим выбором прямоугольной системы.

Пример 1. Найти площадь параболического сегмента (рис. 358) по основанию и высоте .

Решение. Выберем оси, как на рис. 358. Разобьем сегмент на равные криволинейные трапеции и

Координаты х, у связаны уравнением

Параметр определяется из того условия, что парабола проходит через точку

Из (3) и (4) находим

Подставляя в (2), получаем:

Рис. 357

Рис. 358

площадь параболического сегмента составляет площади прямоугольника имеющего то же основание и ту же высоту.

Другой способ. Дополняем сегмент до прямоугольника Площадь дополняющей трапеции равна

или в силу (5)

Значит,

Пример 2. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами (рис. 359).

Площадь есть разность площадей и Параболы пересекаются в точках Имеем:

т. е. составляет треть площади квадрата

Пример 3. Площадь эллипса

Рис. 359

Рис. 360

Рис. 361

Пример 4. Гипербола (рис. 360):

Пример 5. Циклоида (рис. 361):

т. е. площадь циклоиды втрое больше площади производящего круга.