§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов

Многие интегралы, не выражающиеся через элементарные функции в конечном виде, представляются быстро сходящимися бесконечными рядами. Есть смысл разлагать в ряды даже такие интегралы, которые можно представить конечными выражениями

(если эти выражения сложны). Ведь погрешность возникает и при использовании «точных» выражений, так как значения последних находятся, как правило, с помощью таблиц.

Пример 1. Интеграл нельзя выразить в конечном виде через элементарные функции. Воспользовавшись рядом

сходящимся в промежутке получим:

Промежуток сходимости здесь тоже (§ 398).

Пример 2. Вычислить с точностью до .

Решение. Подставляя в (2) значение получаем:

Член и последующие отбрасываем, так как возникающая при этом погрешность много меньше чем (ряд (3) — знакопеременный с убывающими членами; § 376). Вычисления ведем на пять-шесть знаков. Получаем:

Пример 3. Вычислить интеграл с точностью до .

Решение. Неопределенный интеграл не берется в конечном виде. Разлагая в ряд и деля почленно на получаем ряд

сходящийся при любом значении (по теореме § 394). Интегрируя, имеем:

Первый отброшенный член (по грубому подсчету) намного меньше, чем Находим: