§ 471. Криволинейный интеграл

Пусть дана функция Р(х, у), непрерывная в некоторой области числовой плоскости Возьмем в этой области какую-либо линию с началом в точке А (см. рис. 463, 464) и концом в точке В (конец может совпадать с началом).

Разобьем (рис. 463) на частичных дуг и для единообразия присвоим точкам обозначения На каждой частичной дуге возьмем по точке и составим сумму:

где есть приращение абсциссы, соответствующее переходу от точки к точке Имеет место следующая теорема. Теорема. Если при неограниченном возрастании числа наибольшая из величин стремится к нулю, то сумма (1) стремится к пределу, не зависящему ни от способа образования участков ни от выбора промежуточных точек .

Рис. 463

Рис. 464

Определение. Предел, к которому стремится сумма когда наибольшая из величин стремится к нулю, называется криволинейным интегралом выражения взятым по пути Обозначение:

Аналогично определяется криволинейный интеграл выражения обозначаемый

а также криволинейный интеграл выражения обозначаемый

Интегралы (2) и (3) есть частные виды интеграла (4) (при и при ).

Таким же образом определяется криволинейный интеграл

вдоль пространственной линии

Замечание 1. Если, сохранив линию изменить направление пути на противоположное, то криволинейный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет знак. Когда точки различны, направление пути отмечается порядком букв в записях и мы имеем:

Когда точки совпадают, направление пути можно задать указанием промежуточных точек в соответствующем порядке.

Такого указания можно не делать в случае, когда путь представляет контур К плоской области. В этом

случае запись обозначает, что обход области совершается против часовой стрелки (при обычном расположении осей). Если же обход совершается в противоположном направлении, то криволинейный интеграл обозначается

Замечание 2. Криволинейный интеграл является обобщением обыкновенного интеграла и обладает всеми его свойствами (§ 315).