Определение. Предел, к которому стремится сумма
когда наибольшая из величин стремится к нулю, называется криволинейным интегралом выражения
взятым по пути
Обозначение:
Аналогично определяется криволинейный интеграл выражения
обозначаемый
а также криволинейный интеграл выражения
обозначаемый
Интегралы (2) и (3) есть частные виды интеграла (4) (при
и при
).
Таким же образом определяется криволинейный интеграл
вдоль пространственной линии
Замечание 1. Если, сохранив линию
изменить направление пути на противоположное, то криволинейный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет знак. Когда точки
различны, направление пути отмечается порядком букв
в записях
и мы имеем:
Когда точки
совпадают, направление пути можно задать указанием промежуточных точек в соответствующем порядке.
Такого указания можно не делать в случае, когда путь представляет контур К плоской области. В этом
случае запись
обозначает, что обход области совершается против часовой стрелки (при обычном расположении осей). Если же обход совершается в противоположном направлении, то криволинейный интеграл обозначается
Замечание 2. Криволинейный интеграл является обобщением обыкновенного интеграла и обладает всеми его свойствами (§ 315).