§ 169. Уравнения линии

Линию можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и соответственно с этим представлять системой двух уравнений.

Два (взятых вместе) уравнения, связывающие координаты x, y, z, называются уравнениями линии если соблюдены следующие два условия:

1) координаты всякой точки линии удовлетворяют обоим уравнениям;

2) координаты всякой точки, не лежащей на линии не удовлетворяют обоим уравнениям сразу (хотя могут удовлетворить одному из них; ср. § 140).

Пример 1. Два уравнения

представляют прямую линию как пересечение двух плоскостей (ср. пример 1 § 140).

Пример 2. Два уравнения

представляют в отдельности: первое — сферу радиуса а (рис. 186) с центром в точке О, второе — плоскость (прямая делит пополам угол YOZ). Взятые вместе эти уравнения представляют окружность большого круга

Замечание 1. Одна и та же линия может представляться различными (равносильными друг другу) системами уравнений, так как ее можно получить как пересечение различных пар поверхностей.

Замечание 2. Система двух уравнений может представлять не только линию, но и другие геометрические образы; она может также не представлять никакого геометрического образа.

Пример 3. Система уравнений

Рис. 186

представляет точку , в которой плоскость касается сферы .

Пример 4. Система уравнений

не представляет никакого геометрического образа, так как первому уравнению удовлетворяют только значения а они не удовлетворяют второму уравнению.