§ 196. Функция

Определение 1. Величина у называется функцией переменной величины если каждому из тех значений, которые может принимать соответствует одно или несколько определенных значений у. При этом переменная величина называется аргументом.

Говорят также: величина у зависит от величины согласно с этим аргумент называют независимой переменной, а функцию — зависимой.

Пример 1. Пусть температура кипения воды, атмосферное давление. Наблюдением установлено, что каждому значению, которое может принимать соответствует всегда одно и то же значение Следовательно, есть функция аргумента

Зависимость от позволяет, наблюдая температуру кипения воды, без барометра определить давление по таблице 1 (приводится в сокращенном виде).

Таблица 1

В свою очередь есть функция аргумента зависимость от позволяет, наблюдая давление, без термометра определить температуру кипения воды по той же таблице 1. Но удобнее пользоваться таблицей другого типа (таблица 2).

Таблица 2

Здесь аргумент растет через равные промежутки (как аргумент в таблице 1).

Замечание 1. Таблицу 1 можно дополнить другими значениями аргумента скажем 65°, 73°, 104° Но есть значения, которых температура кипения не может принимать; так, она не может оыть меньше «абсолютного нуля» (273°), Невозможному значению Т = 300°, конечно, не соответствует никакое значение Вот почему в определении 1 сказано: «каждому из значений, которые может принимать (а не «каждому значению х ...»).

Пример 2. Тело брошено вверх; s - высота его подъема над землей, время, прошедшее с момента бросания.

Величина есть функция аргумента так как в каждый момент полета тело имеет определенную высоту. В свою очередь есть функция аргумента так как каждой высоте, на которой тело может находить соответствуют два определенных значения (одно при движении вверх, другое при движении вниз).

Определение 2. Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной; если два или больше, — то многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.).

В примере однозначная функция аргумента а величина двузначная функция аргумента

Если особо не оговорено, что функция многозначна подразумевается у что она однозначна.

Пример 3. Сумма углов многоугольника — функция числа сторон. Аргумент может принимать только целые значения, не меньше чем 3. Зависимость от выражается формулой

(за единицу измерения углов принят радиан). В свою очередь функция аргумента зависимость от выражается формулой

Аргумент может принимать только значения, кратные .

Пример 4. Сторона квадрата — функция его площади Аргумент может принимать любые положительные значения.

Замечание 2. Аргумент — всегда переменная величина. Функция, как правило, — тоже переменная величина. Но не исключена возможность ее постоянства. Так, расстояние движущейся точки от неподвижной есть функция времени пребывания в пути и, как правило, меняется. Но при движении точки по окружности расстояние от центра постоянно.

В случае, когда функция является постоянной величиной, аргумент и функцию нельзя менять ролями (в нашем примере продолжительность движения по окружности не является функцией расстояния от центра).