§ 205. Определение предела функции

Неограниченность приближения переменной величины к постоянной выражается (ср. § 203) в том, что их разность с некоторого момента будет оставаться по абсолютному значению меньшей любого заранее данного положительного числа. В соответствии с этим определению § 204 можно дать следующую точную формулировку.

Определение. Число называется пределом функции при если абсолютное значение разности остается меньшим любого заранее данного положительного числа всякий раз, как абсолютное значение разнисти а при не равном а, меньше некоторого положительного числа (зависящего от е).

Короче (но менее точно): число есть предел функции при если величина сколь угодно мала при достаточной малости величины

Пример. Число 2 есть предел функции при (ср. § 204, пример 2).

Действительно, потребуем, чтобы величина

при была меньше Получим неравенство

Оно равносильно неравенству

Значит, абсолютное значение разности остается меньшим любого заранее данного положительного числа всякий раз, как абсолютное значение разности меньше, чем В данном примере .