§ 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути

Пусть функции Р(х, у), Q(х, у), а также их частные производные непрерывны в области!) (рис. 468), ограниченной некоторой непрерывной замкнутой линией

(не пересекающей себя). Возьмем в области две фиксированные точки и будем рассматривать всевозможные пути интегрирования, ведущие из и расположенные целиком в области D (таковы пути на рис. 468). Возможны два случая.

Случай 1 (исключительный). В области тождественно удовлетворяется равенство

Тогда криволинейный интеграл

не зависит от выбора пути, и соответственно с этим обозначается:

Случай 2 (общий). Равенство (1) не является тождеством. Тогда криволинейный интеграл (2) зависит от выбора пути.

Пояснение. Разность криволинейных интегралов равна сумме . Последняя дает интеграл по контуру а он равен (§ 474) двойному интегралу по области Если равенство (1) есть тождество, то значит, т. е. криволинейные интегралы вдоль путей одинаковы. Если же равенство (1) не является тождеством, то можно подобрать пути и так, чтобы и тогда

Рис. 468

Пример 1. Рассмотрим интеграл

Функции всюду непрерывны, и равенство (1) удовлетворяется тождественно. Значит, при фиксированных точках интеграл (3) не зависит от пути. Возьмем, например, точки (рис. 469) и вычислим интеграл I вдоль прямолинейного пути Получим

Если в качестве пути взять дугу параболы то получим снова . То же значение получим, идя вдоль ломаной . Вдоль звена имеем: так что вдоль имеем: так что Значит,

Запись:

Пример 2. Сохранив точки рассмотрим интеграл Равенство (1) принимает вид т. е. не является тождеством. Интеграл I теперь зависит от пути. Так, вдоль пути

Рис. 469

(см. рис. 469) имеем: а вдоль пути интеграл имеет иное значение

То же значение получим вдоль дуги параболы .

И вообще в случае 2 всегда можно специально подобрать два пути, вдоль которых интеграл имеет одинаковые значения.