§ 182. Определители второго и третьего порядков

Определителем второго порядка называется выражение (§ 12)

Определителем третьего порядка

называется выражение (§ 118)

или, что то же,

Буквы называются элементами определителя.

Миноры. Определители входящие в формулу (3), называются минорами элементов .

Вообще минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Примеры. Минор элемента определителя (1) есть определитель схема:

Минор элемента есть минор элемента есть .

Замечание. В определителе второго порядка минором элемента является элемент ; его

можно считать «определителем первого порядка». Элемент получится из определителя второго порядка вычеркиванием верхней строки и левого столбца. Аналогично минором элемента является элемент

Алгебраическое дополнение. В формуле (3) элементы умножаются на . Эти выражения называются алгебраическими дополнениями элементов .

Вообще алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со своим или с противоположным знаком согласно следующему правилу.

Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, — то с противоположным.

Алгебраические дополнения элементов будем обозначать соответственно

Пример 1. Элемент определителя (1) стоит на пересечении первой строки и второго столбца. Так как есть нечетное число, то

Пример 2. Найти алгебраическое дополнение элемента

Решение. Вычеркивая вторую строку и третий столбец, находим минор элемента Номер строки этого элемента есть 2, номер столбца . Сумма — нечетное число. Поэтому

Пример 3. В определителе (1) алгебраическое дополнение элемента есть четное число).

Теорема 1. Определитель (1) равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т. е.

Формула (4) тождественна (3), формулы (5) и (6) проверяются непосредственным вычислением.

Теорема 2. Определитель (1) равен сумме произведений элементов какого-либо столбца на их алгебраические дополнения, т. е.

Эти две теоремы облегчают вычисление определителя, когда среди элементов есть нули.

Пример 4. Для вычисления определителя

удобно применить (5) или (9). Формула (5) дает:

Формула (9) дает:

Пример 5. Для вычисления определителя

лучше всего применить (6):