§ 364. О знаке кривизны

Кривизне плоских линий, лежащих в одной и той же плоскости, можно следующим образом приписать знак. Если при движении точки в сторону возрастания параметра и вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной.

Знак кривизны меняется на противоположный, если параметр и заменить другим параметром и, убывающим, когда и возрастает. Когда за параметр принимается абсцисса, возрастанию параметра соответствует смещение точки «вправо». В этом случае кривизна положительна, когда линия обращена вогнутостью вверх, и отрицательна — когда вниз (§ 282). Формулы (1) и (I) § 344 заменяются следующими:

Пример. Кривизна окружности

вычисленная по формуле (I), равна (возрастанию параметра соответствует обход против часовой стрелки, в ту же сторону вращается вектор касательной). Если ту же окружность представить уравнениями

то формула дает

Если окружность задать уравнением

и применить формулу (1), то для верхней полуокружности получим (обход будет совершаться против часовой стрелки, вогнутость обращена вниз), для нижней полуокружности получим

Этот пример показывает, что сам по себе знак кривизны не имеет геометрического смысла; имеет значение лишь изменение знака при переходе через некоторую точку (точка перегиба) или, напротив, сохранение знака на некотором участке.

Кривизне пространственных линий (в том числе и плоских) совсем нельзя приписать знака, так как в пространстве нет ни вращения по часовой стрелке, ни вращения против часовой стрелки. Для линий, лежащих в одной плоскости, эти два направления различаются потому, что, выбрав на плоскости «лицевую» ее сторону, мы имеем в виду наблюдателя, смотрящего именно на эту сторону. Если же мы по какому-либо признаку станем различать лицевую и оборотную стороны на соприкасающихся плоскостях произвольной кривой в пространстве, то ни с какой позиции наблюдатель не сможет видеть все плоскости с лицевой стороны.