§ 234. Инвариантность выражения f'(x)dx

Выражение представляет (§ 228, теорема 1) дифференциал когда рассматривается как аргумент. Если же сама величина рассматривается как функция некоторого аргумента то выражение как правило, не представляет дифференциала (см. ниже пример 1); исключение составляет лишь случай линейной зависимости

Напротив, формула (3) § 233

верна как в том случае, когда есть аргумент (тогда так и в случае, когда есть функция от (см. ниже пример 2).

Это свойство выражения называется его инвариантностью (неизменностью).

Пример 1. Выражение представляет дифференциал функции когда есть аргумент.

Положим теперь

и будем считать аргументом. Тогда

Из (2) находим:

Значит,

Это выражение не пропорционально и потому теперь не является дифференциалом. Дифференциал функции у находим из (3):

Сопоставляя (5) и (6), видим, что отличаются на величину имеющую второй порядок относительно

Пример 2. Выражение представляет дифференциал функции при любом аргументе Пусть, например, Тогда

Значит,

Сравнив с (6), видим, что