§ 283. Правило для нахождения точек перегиба

Чтобы найти все точки перегиба линии надо проверить все те значения для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует (только в таких точках перегиб возможен; § 282).

Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то линия имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет (§ 282, п. 2).

Пример 1. Найти точки перегиба линии

Решение. Имеем:

Вторая производная существует всюду и всюду она конечна; она обращается в нуль в двух точках и . Рассмотрим точку Если несколько меньше, чем а именно, если то

если несколько больше, чем (в данном случае за можно взять любое число, большее ), то При переходе через вторая

производная меняет знак; значит, в соответствующей точке графика (точка С на рис. 293) имеем перегиб. При также перегиб (§ 282, пример 1).

Пример 2. Найти точки перегиба линии

Решение. Имеем:

Вторая производная всюду конечна и обращается в нуль лишь при При переходе через вторая производная сохраняет, как и всюду, знак плюс. Значит, ни здесь, ни в других точках перегиба нет. Линия обращена вогнутостью вверх (рис. 296).

Рис. 296