§ 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции

Формула Тейлора часто позволяет вычислять значения функции с любой точностью. Пусть известны значения

функции и ее последовательных производных в «начальной» точке Требуется же найти значение функции при ином значении

Во многих случаях для этого достаточно вычислить значение многочлена Тейлора

взяв здесь два, три или больше членов в зависимости от требуемой степени точности. Конечно, мы допускаем при этом некоторую ошибку она равна

Но часто оказывается, что ошибка неограниченно уменьшается (по абсолютному значению) с увеличением числа членов (т. е. ). Тогда многочлен Тейлора может дать искомое значение с любой степенью точности.

Число членов, обеспечивающее требуемую степень точности, существенно зависит от того, как велико расстояние от начальной точки а до точки Чем больше тем больше членов приходится брать (см. пример 1). Нередко случается и так, что стремление к нулю не только замедляется с ростом расстояния но при дальнейшем росте и вовсе прекращается (см. пример 2). Тогда многочлен (1) пригоден для вычисления лишь на ограниченном расстоянии от начальной точки.

Значит, надо уметь ответить на следующие вопросы: пригоден ли многочлен (1) для вычисления на данном расстоянии от начальной точки а и если то сколько членов надо взять для достижения требуемой точности? Важно также знать, для всякого ли расстояния ошибка стремится к нулю с ростом числа членов, а если не для всякого, то где его граница.

Для ответа на эти вопросы применяются различные приемы. Один из них основывается на теореме

§ 271, позволяющей представить ошибку в следующем виде:

Число здесь неизвестно; мы знаем лишь то, что лежит между а их. Но и этого бывает достаточно, чтобы оценить ошибку и ответить на поставленные выше вопросы.

Пример 1. Пусть Все производные этой функции равны Нам известно значение в точке (именно Эту точку мы и примем за начальную. Условия теоремы § 271 соблюдены при всех значениях . В многочлене Тейлора (1) надо положить:

и он принимает такой вид:

Заменив значение значением многочлена (5), мы допустим некоторую ошибку она равна

Так как то ошибку согласно формуле (3) можно представить в таком виде:

Число лежит где-то между нулем и (оно зависит и от и от Значит, лежит между Этого достаточно, чтобы оценить ошибку.

Пусть, например, надо вычислить значение при т. е. извлечь квадратный корень из числа

Так как число заключено между 2 и 3, то меньше чем 2, а и подавно. Из (7) следует, что , т.е.

С ростом величина (предельная погрешность) стремится к нулю, а ошибка и подавно. Значит, многочлен (5), который теперь принимает значение

пригоден для вычисления с любой точностью.

Определим теперь, сколько членов должна иметь сумма (9), чтобы обеспечить точность, скажем, до четвертого десятичного знака (т. е. до ). Для этого вычисляем предельную погрешность при :

Здесь можно остановиться, так как

Итак, для обеспечения точности достаточно, чтобы сумма (9) имела шесть членов. Находим:

В итоге получаем:

Таким же образом найдем, что для обеспечения точности до сумма (9) должна иметь 10 членов, так как

Вычисление дает:

Взяв 15 членов, можно вычислить с точностью до Точность результата быстро возрастает с ростом числа членов.

Точность возрастает медленнее, если вычислять при больших значениях например при или при

Положим Тогда многочлен (5), принимающий вид

дает приближенное значение числа . Ошибка согласно (7) равна

Число теперь заключено между т. е. между а так как то

Ошибка по-прежнему стремится к нулю с ростом Но теперь для обеспечения точности до надо взять девять членов (вместо шести), так как предельная погрешность лишь при меньше Вычисление дает:

Если надо обеспечить точность до то придется взять 13 членов (вместо 10); вычисление даст:

Взяв 15 членов, можно вычислить лишь с точностью до (а не до как при вычислении

Положим теперь Тогда многочлен (5), принимающий вид

дает приближенное значение числа т. е. Ошибка согласно (7) равна

Число заключено между минус единицей и нулем; значит, т. е. Следовательно,

Предельная погрешность здесь втрое меньше, чем в предыдущем случае. Благодаря этому число членов, обеспечивающее требуемую точность, может снизиться, но не более чем на единицу. Так, точность до обеспечивается теперь не 15 членами, , что для вычислительной практики не имеет существенного значения.

Если вместо мы будем брать значения еще большие по абсолютной величине, то ошибка приближенного равенства

будет стремиться к нулю еще медленнее. Однако, используя формулу (7) и рассуждая, как выше, мы убедимся, что ошибка будет стремиться к нулю при всяком значении

На рис. 259 изображены график функции и графики ее многочленов Тейлора

Пример 2. Пусть Как и в примере 1, примем точку за начальную. Условия теоремы

Рис. 259

§ 271 соблюдаются лишь при функция теряет смысл). Последовательные производные выражаются следующим образом:

так что (§ 256, пример 3) будем иметь:

Многочлен Тейлора (1) даст приближенное равенство

Так как то погрешность равенства (14) согласно формуле (3) можно представить в виде

где лежит где-то между нулем и .

Вычислим, например, значение при . Получаем приближенное равенство

Его погрешность равна Так как лежит между нулем и то

Предельная погрешность, очевидно, стремится к нулю с ростом т. е. формула (16) способна дать

с любой точностью. Так, для обеспечения точности до надо взять и мы получим:

Таким же образом убедимся, что формула (14) подходит всякий раз, когда Но при увеличении стремление ошибки к нулю замедляется. Слабее всего это стремление при Тогда формула (14) дает:

Чтобы обеспечить, например, точность до надо взять 19 999 членов.

Когда же хотя бы немного превосходит единицу, ошибка вовсе не стремится к нулю; напротив неограниченно возрастает с ростом

На рис. 260 изображены графики функции (линия АСВ) и трех первых многочленов Тейлора.

Рис. 260