§ 390. Интегрирование рядов

Теорема. Если сходящийся ряд

составленный из функций, непрерывных в промежутке сходится в этом промежутке равномерно, то его можно интегрировать почленно. Ряд

равномерно сходится в промежутке и его сумма равна интегралу от суммы ряда (1):

Пояснение. Частичная сумма ряда (2) есть интеграл частичной суммы ряда (1)

и изображается площадью (рис. 406). Интеграл суммы ряда (1) изображается площадью

Теорема утверждает, во-первых, что ряд (2) сходится и сумма его равна

Геометрически: площадь (см. рис. 406) есть предел площади при .

Действительно, при равномерной сходимости ряда (1) график помещается внутри полосы (§ 387). Значит, площадь заключена между площадями . А обе они имеют пределом площадь

Теорема утверждает, во-вторых, что ряд (2) сходится равномерно.

Геометрически: сразу для всех положений ординаты величину

начиная с некоторого номера можно сделать меньше любой заранее данной площади Действительно, полосу можно сузить — настолько, чтобы ее площадь была меньше Тогда площадь и подавно меньше а величина (4) еще меньше.

Пример 1. Ряд

в промежутке где правильная дробь, сходится равномерно (по признаку § 388), так как его члены не превосходят соответствующих членов сходящегося положительного ряда (§ 374)

При

Рис. 406

Согласно теореме настоящего параграфа ряд

равномерно сходится в промежутке и его сумма равна

Это легко проверить, так как ряд (8) есть прогрессия

Замечание. Если ряд (1) сходится неравномерно, то его почленное интегрирование в одних случаях допустимо, в других нет (см. примеры 2 и 3).

Пример 2. Неравномерно сходящийся в промежутке ряд

(см. § 389, пример 3) можно интегрировать почленно в пределах от 0 до 1:

Действительно, частичная сумма ряда (11) равна

Она стремится к нулю при

Геометрически: площадь, ограниченная графиком (см. рис. 405) и отрезком стремится к нулю, несмотря на наличие «горба». (По мере роста «горб» неограниченно сужается, а высота его остается постоянной.)

Пример 3. Ряд

с общим членом

сходится в промежутке и имеет непрерывную сумму (доказывается так же, как для ряда (10)). Следовательно,

Между тем почленное интегрирование в пределах от до 1 дает не нуль, Действительно, получаем ряд

с частичной суммой

Следовательно, его сумма равна

Несогласие между (15) и (18) вызвано неравномерной сходимостью ряда (13) (неравномерность доказывается так же, как и в примере 3 § 389).

Геометрически: график (рис. 407) стремится к слиянию с осью абсцисс над любым куском отрезка не содержащим точки Но вблизи этой точки образуется горб. Он неограниченно приближается к концу При этом он сужается по горизонтали, но одновременно растет вверх. В результате

Рис. 407

компенсации площадь между и отрезком стремится не к нулю, а к

Замечание. Если видоизменить ряд (13), взяв ряд с общим членом

то по-прежнему будем иметь:

но после почленного интегрирования получим ряд с частичной суммой

Он будет расходящимся, так как (рост горба вверх будет более быстрым, чем сужение по горизонтали).