§ 436. Уравнение касательной плоскости
1. Касательная плоскость к поверхности 
представляется уравнением
где 
текущие координаты; 
координаты точки касания; 
соответствующие значения частных производных 
Пояснение. Плоскость (1) проходит через прямую
в чем убеждаемся подстановкой в уравнение (1). Прямая 
касательная к сечению, проведенному через точку 
параллельно плоскости 
(§ 426). Так же убеждаемся, что плоскость (1) проходит через касательную к сечению, параллельному 
Значит (§ 435), плоскость (1) совпадает с касательной плоскостью (если последняя существует; ср. § 435, замечание).
Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости гиперболического параболоида 
в точке 
.
Решение. Имеем: 
Уравнение искомой касательной плоскости есть
или 
.
2. Если поверхность представляется уравнением вида 
то касательная плоскость представится уравнением
Уравнение (1) — частный вид уравнения (2).
Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости эллипсоида
в точке 
.
Решение. Имеем: 
Искомое уравнение есть
или, сокращая на 2 и учитывая уравнение эллипсоида,
Замечание. Уравнение касательной плоскости проще всего получается из уравнения данной поверхности следующим образом: данное уравнение дифференцируем и вместо 
пишем 
Так, дифференцируя уравнение (3), получаем:
Заменив дифференциалы 
разностями 
получаем уравнение (4).
