§ 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных

Правило 1. Уравнение

при известных условиях задает переменную как неявную функцию аргументов х, у. Чтобы найти полный дифференциал этой функции, надо продифференцировать уравнение (1), т. е. приравнять к нулю полный дифференциал его левой части. Полученное равенство надо разрешить относительно и мы найдем полный дифференциал функции Коэффициенты при дадут соответствующие частные производные.

Таким же образом поступаем при любом числе аргументов.

Пример 1. Найти полный дифференциал и частные производные неявной функции аргументов х, у, заданной уравнением

в точке

Решение. Дифференцируя, находим:

Разрешив это равенство относительно получаем полный дифференциал функции (в произвольной точке)

В данной точке (1; -2; -2) имеем:

Коэффициенты при дают значения частных производных в данной точке:

Проверка. Решив уравнение относительно получим:

(перед радикалом берем знак минус, так как при должны иметь ). Из (6) находим:

Подставляя сюда значения снова получаем формулы (5).

Замечание 1. В правиле 1 предполагается, что функция дифференцируема в некоторой точке удовлетворяющей уравнению (1), и в достаточной близости от нее (т. е. во всех точках некоторого шара с центром в точке ). Кроме того, предполагается, что уравнение, полученное дифференцированием, однозначно разрешимо относительно что коэффициент при отличен от нуля). При этих условиях можно утверждать:

1) что уравнение (1) действительно задает как неявную функцию аргументов она определена в некотором круге с центром и принимает значение при

2) что функция дифференцируема в упомянутом круге и, в частности, в точке

В примере 1 вышеперечисленные условия выполнялись. В следующем примере рассмотрен один из разнообразных случаев их нарушения.

Пример 2. Уравнение

задает как неявную функцию аргументов Явное ее выражение таково:

Пытаясь применить правило 1 к нахождению полного дифференциала функции в точке мы получили бы из (7) равенство

В точке это равенство не допускает однозначного решения относительно так как оно обращается в тождество Таким образом, правило 1 не даст возможности найти ни полного дифференциала, ни частных производных функции в рассматриваемой точке.

Дополнительное исследование показывает, что в этой точке функция недифференцируема (§ 434), но имеет частные производные

Правило 2. Система двух уравнений

при известных условиях задает две переменные как неявные функции аргументов Чтобы найти полные дифференциалы этих функций, надо продифференцировать уравнения (10). Полученную систему равенств надо разрешить относительно и мы найдем полные дифференциалы функций Коэффициенты при дадут соответствующие частные производные.

Таким же образом поступаем, когда число уравнений в системе больше двух (при любом числе аргументов).

Пример 3. Найти полные дифференциалы и частные производные неявных функций заданных системой уравнений

Решение. Дифференцируя, находим:

Разрешив систему (12) относительно получаем полные дифференциалы функций

Коэффициенты при дают частные производные

Замечание 2. В правиле 2 предполагается, что функции дифференцируемы в некоторой точке и в достаточной близости от нее. Кроме того, предполагается, что система уравнений, полученная дифференцированием, однозначно разрешима относительно (т. е. что определитель, составленный из коэффициентов при отличен от нуля). При этих условиях можно утверждать:

1) что система (10) действительно задает как неявные функции аргументов эти функции определены в некотором шаре с центром и принимают значения при

2) что функции дифференцируемы в упомянутом шаре и, в частности, в точке