1. Если исходить из модели «свободных» электронов (см. § 42), то плотность электрического тока в металле может быть выражена через их концентрацию $n$ и подвижность по формуле
\[
\mathbf{j}=e n b \mathbf{E} .
\]

Формула была бы справедлива и в том случае, если бы носителями тока были положительно заряженные частицы $(e>0)$. Если $e>$ $>0$, то ток $\mathbf{j}$ направлен по полю $\mathbf{E}$; если же $e<0$, то он направлен противоположно полю Е. Для определения двух величин $n$ и $b$ к уравнению (98.1) необходимо присоединить второе уравнение. С этой целью можно воспользоваться эффектом Холла (1855-1938).
Рис. 215
Допустим, что вдоль длинной и тонкой металлической ленты течет постоянный ток с плотностью $\mathbf{j}$. Направление этого тока примем за ось $X$ (рис. 215). Пусть перпендикулярно к плоскости ленты приложено постоянное однородное магнитное поле $\mathbf{B}$, направленное вдоль оси $Z$.

Если бы носителями тока были положительные частицы, то они двигались бы вместе с током вправо и сила Лоренца ( $e / c)[\mathbf{v B}]$ отклоняла бы их вниз. Нижний край ленты стал бы заряжаться положительно, а верхний – отрицательно. Возникшее электрическое поле $E_{\text {у }}$ препятствовало бы отклонению, вызываемому магнитным полем. Процесс накопления зарядов на нижнем и верхнем краях ленты продолжался бы до тех пор, пока не прекратилось бы течение зарядов поперек ленты. После этого поперек ленты между противоположными точками 1 и 2 установится положительная разность потенциалов $V_{1}-V_{2}$. Если носителями тока являются отрицательные частицы, то вместе с током они будут перемещаться влево. Сила Лоренца $\mathbf{F}=(e / c)[\mathbf{v B}]$ будет отклонять такие частицы также вниз, так что теперь нижний край ленты зарядится отрицательно, а верхний – положительно. Таким образом, в этом случае поперечная разность потенциалов $V_{1}-V_{2}$ будет отрицательной. Возникновение поперечной разности потенциалов в магнитном поле было экспериментально обнаружено Холлом в 1879 г., а само явление получило название эффекта Холла.
2. Рассчитаем приближенно разность потенциалов $V_{1}-V_{2}$, пользуясь моделью свободных электронов. Между столкновениями движение частицы, переносящей ток, описывается уравнением
\[
m \dot{\mathbf{v}}=e\left(\mathbf{E}-\frac{1}{c}[\mathbf{v B}]\right)
\]

или в координатной форме
\[
m \dot{v}_{x}=e\left(E_{x}+\frac{1}{c} v_{y} B\right), \quad m \dot{v}_{y}=e\left(E_{y}-\frac{1}{c} v_{x} B\right), \quad m \dot{v}_{z}=0 .
\]

Допустим, что магнитное поле В слабое. Тогда поперечное электрическое поле $E_{y}$, а также члены, содержащие магнитное поле $\mathbf{B}$, в последних уравнениях можно рассматривать как малые поправки к основной силе $e E_{x}$. Для получения решения удобно применить метод последовательных приближений. В нулевом приближении оставляем только главный член $e E_{x}$ и получаем
\[
v_{x}=v_{0 x}+\frac{e}{m} E_{x} t
\]

где $\mathbf{v}_{0}$ – скорость частицы непосредственно после последнего столкновения. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение первого приближения
\[
m \dot{v}_{y}=e\left(E_{y}-\frac{v_{0 x}}{c} B-\frac{e B}{m c} E_{x} t\right)
\]

откуда
\[
v_{y}=\frac{e}{m}\left(E_{y} t-\frac{v_{0 x}}{c} B t-\frac{e B}{2 m c} E_{x} t^{2}\right) .
\]

Если $\tau$ – время свободного пробега, то среднее значение $v_{y}$ между двумя последовательными столкновениями будет
\[
\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} v_{y} d t=\frac{e}{2 m}\left(E_{y} \tau-\frac{v_{0 x} B}{c} \tau-\frac{e B E_{x}}{3 m c} \overline{\tau^{2}}\right) .
\]

Это выражение надо подвергнуть вторичному усреднению по всем столкновениям или (что то же самое) по всем частицам. Если ввести предположение, которым мы пользовались уже в § 42, что после каждого столкновения все направления скорости $\mathbf{v}_{0}$ равновероятны, то при таком усреднении величина $v_{0 x} \tau$ обратится в нуль, так что для скорости $v_{y}$, усредненной по всем частицам, получится
\[
\bar{v}_{y}=\frac{e}{2 m}\left(E_{y} \bar{\tau}-\frac{e B}{3 m c} E_{x} \overline{\tau^{2}}\right) .
\]

В установившемся состоянии $\bar{v}_{y}=0$, а потому
\[
E_{y}=\frac{e B}{3 m c} \frac{\overline{\tau^{2}}}{\bar{\tau}} E_{x} .
\]

Исключим отсюда $E_{x} \overline{\tau^{2}} / \bar{\tau}$ с помощью формулы
\[
j=\frac{n e^{2}}{2 m} \frac{\overline{\tau^{2}}}{\bar{\tau}} E_{x}
\]
(см. § 42). Тогда получим
\[
E_{y}=R j B,
\]

где
\[
R=\frac{2}{3} \frac{1}{n e c} .
\]

Постоянная $R$ называется постоянной Холла.
Учитывая, что предположения, введенные при наших вычислениях не вполне корректны, нет смысла сохранять коэффициент $2 / 3$. Отбросив этот коэффициент, получаем оценочную формулу ${ }^{1}$ )
\[
R=\frac{1}{n e c} .
\]

Поперечная разность потенциалов $V_{1}-V_{2}$, вызванная магнитным полем, определяется выражением
\[
V_{1}-V_{2}=R j B a,
\]
1) Более корректные вычисления, основанные на кинетическом уравнении Больцмана и классической статистике, приводят к результату
\[
R=3 \pi /(8 n e c),
\]

почти не отличающемуся от (98.3) и (98.4). Если же применять к электронам в металле статистику Ферми-Дирака, то результаты таких вычислений совпадают с формулой (98.4).

где $a$ – ширина ленты. Зависимость такого типа и была экспериментально установлена Холлом.

Условие слабости магнитного поля, использованное в наших расчетах, сводится к требованию, чтобы поперечное электрическое поле $E_{y}$ было слабым по сравнению с продольным полем $E_{x}$, т. е. $R j B \ll E_{x}$. Используя выражения для $R$ и $j$, это условие нетрудно преобразовать к виду
\[
\boldsymbol{\Omega} \bar{\tau} \ll 1,
\]

где $\boldsymbol{\Omega}=|e B /(m c)|$ – циклотронная частота. Таким образом, время $\bar{\tau}$ должно быть мало по сравнению с циклотронным периодом $T=2 \pi / \boldsymbol{\Omega}$.
3. Для измерения коэффициента Холла чаще всего применяется компенсационный метод. К пластинке из исследуемого материала, по которой течет электрический ток, в точках 1 и 2 подводятся два контакта (рис. 216). В цепь включаются последовательно гальванометр $G$ и компенсатор $K$, создающий напряжение, противоположное холловскому. Меняя это напряжение, добиваются того, чтобы ток через гальванометр обратился в нуль. После этого холловская разность потенциалов между точками 1 и 2 отсчитывается по компенсатору.
В большинстве таблиц приводятся зна-
Рис. 216 чения не величины $R$, а величины $c^{2} R$. (Такое значение коэффициент Холла получил бы, если бы пользоваться электромагнитной системой единиц.)

Таблица 5. Значения $c^{2} R$ в гауссовой системе для некоторых металлов

Используя табл. 5, нетрудно показать, что холловская разность потенциалов $V_{1}-V_{2}$ весьма мала. Возьмем, например, золотую ленту толщины $h=0,1 \mathrm{мm}$, по которой течет ток $I=10 \mathrm{~A}$. Если $B=10^{4} \Gamma \mathrm{c}$, то формула (98.6) дает
\[
V_{1}-V_{2}=R \frac{I}{a h} B a=\frac{R I B}{h}=\frac{c^{2} R B I / c}{h c} .
\]

Для перехода к практическим единицам умножаем эту величину на 300 и получаем
\[
V_{1}-V_{2}=\frac{c^{2} R B I / c}{10^{8} h}=-\frac{0,736 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{4} \cdot 1}{10^{8} \cdot 10^{-2}} \approx 7 \text { мкВ. }
\]
14 Д. В. Сивухин. Т. 3

Зная $R$, можно далее рассчитать концентрацию $n$ электронов проводимости, а также число таких электронов $z$, приходящееся на один атом металла. Число атомов в единице объема определяется выражением $n_{\text {ат }}=N \rho / A$, где $N-$ постоянная Авогадро, $\rho-$ плотность металла, a $A$ – атомная масса. Число $z$ найдется делением концентрации электронов $n$ на $n_{\text {ат }}$. С учетом формулы (98.4) это дает
\[
z=\frac{A}{R c \rho F}=\frac{A}{R c^{2} \rho F / c},
\]

где $F$ – постоянная Фарадея в гауссовой системе единиц. Если ее разделить на $c$, то получится то же число в электромагнитной системе: $F / c=$ $=9650$. По формуле (98.8) и получены числа, приведенные в последнем столбце таблицы. Зная $n$ и электрическую проводимость металла, можно вычислить по формуле (98.1) подвижность $b$. Для «нормальных металлов» значения $b$ лежат в пределах около $5-50 \mathrm{~cm}^{2} /(\mathrm{c} \cdot \mathrm{B})$. Столь низкие значения указывают на то, что электроны в металлах испытывают много соударений с кристаллической решеткой.

Для элементов первой группы периодической системы $z$ приблизительно равно 1 , т. е. числу валентных электронов. То же справедливо для алюминия – элемента третьей группы $(z \approx 3)$. Помимо «нормальных металлов», для которых коэффициент Холла отрицателен, причем $c^{2} R \sim 10^{-3}-10^{-4}$, существуют металлы, обладающие аномальными свойствами. Так, коэффициент Холла висмута и всех металлов пятой группы периодической системы аномально велик (у висмута он примерно в $10^{4}$ раз больше, чем у нормальных металлов) и резко меняется с температурой. У ферромагнетиков коэффициенты Холла в 10-100 раз больше, чем у нормальных металлов, и зависят от напряженности магнитного поля. Наиболее замечательно, однако, что коэффициент Холла может быть как положительным, так и отрицательным. Так, он отрицателен для щелочных металлов, $\mathrm{Cu}, \mathrm{Ag}, \mathrm{Au}, \mathrm{Mg}, \mathrm{Ca}, \mathrm{Hg}, \mathrm{Al}$, $\mathrm{Ga}, \mathrm{In}, \mathrm{Ti}, \mathrm{Mn}, \mathrm{Ni}, \mathrm{Sn}, \mathrm{Pd}, \mathrm{Bi}, \mathrm{Pt}$ и положителен для $\mathrm{Be}, \mathrm{Zn}, \mathrm{Cd}, \mathrm{Tl}$, $\mathrm{V}, \mathrm{Cr}, \mathrm{Fe}, \mathrm{Co}, \mathrm{Pb}, \mathrm{Mo}, \mathrm{Ru}, \mathrm{As}, \mathrm{Sb}, \mathrm{Ta}, \mathrm{W}$, Re, Ir. Дело обстоит так, как если бы носителями тока во второй из этих групп металлов были не отрицательные $(e<0)$, а положительные ( $e>0$ ) частицы. Такое заключение, однако, противоречит всей совокупности наших сведений о природе металлов. Это противоречие долгое время: являлось одной из основных трудностей в электронной теории металлов. Оно было вполне удовлетворительно разрешено квантовой теорией металлов (см. § 100).