1. Рассмотрим электрические колебания в двух колебательных контурах, индуктивно связанных между собой (рис. 324). Будем считать, что нет омических сопротивлений и внешних сил, действующих на систему (свободные колебания). Поскольку колебания в одном контуре влияют на колебания в другом, они называются связанными колебаниями. Такие колебания описываются дифференциальными уравнениями
\[
\frac{Q_{1}}{C_{1}}+L_{1} \dot{I}_{1}+L_{12} \dot{I}_{2}=0, \quad \frac{Q_{2}}{C_{2}}+L_{2} \dot{I}_{2}+L_{21} \dot{I}_{1}=0,
\]

Рис. 324
Рис. 325

или
\[
L_{1} \ddot{Q}_{1}+L_{12} \ddot{Q}_{2}+\frac{Q_{1}}{C_{1}}=0, \quad L_{21} \ddot{Q}_{1}+L_{2} \ddot{Q}_{2}+\frac{Q_{2}}{C_{2}}=0 .
\]

Разрешив эти уравнения относительно производных, приведем их к виду
\[
\ddot{Q}_{1}+a_{11} Q_{1}+a_{12} Q_{2}=0, \quad \ddot{Q}_{2}+a_{21} Q_{1}+a_{22} Q_{2}=0,
\]

где введены обозначения:
\[
\begin{array}{cl}
a_{11}=\frac{L_{2}}{C_{1}\left(L_{1} L_{2}-L_{12} L_{21}\right)}, & a_{12}=\frac{L_{12}}{C_{2}\left(L_{1} L_{2}-L_{12} L_{21}\right)}, \\
a_{21}=-\frac{L_{21}}{C_{1}\left(L_{1} L_{2}-L_{12} L_{21}\right)}, & a_{22}=\frac{L_{1}}{C_{2}\left(L_{1} L_{2}-L_{12} L_{21}\right)} .
\end{array}
\]

Прежде чем идти дальше, рассмотрим такие же колебательные контуры, но с емкостной связью (рис. 325). В этом случае
\[
\frac{Q_{1}}{C_{1}}+\frac{Q}{C}+L_{1} \dot{I}_{1}=0, \quad \frac{Q_{2}}{C_{2}}+\frac{Q}{C}+L_{2} \dot{I}_{2}=0 .
\]

Продифференцировав эти уравнения по времени и приняв во внимание, что $I=I_{1}+I_{2}$, или $\dot{Q}=\dot{Q}_{1}+\dot{Q}_{2}$, получим
\[
\ddot{I}_{1}+a_{11} I_{1}+a_{12} I_{2}=0, \quad \ddot{I}_{2}+a_{21} I_{1}+a_{22} I_{2}=0,
\]

где введены обозначения:
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=\frac{1}{L_{1}}\left(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C}\right), \quad a_{12}=\frac{1}{L_{1} C}, \\
a_{21}=\frac{1}{L_{2} C}, \quad a_{22}=\frac{1}{L_{2}}\left(\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C}\right) .
\end{array}
\]

Мы видим, что в обоих случаях колебания описываются однотипными системами линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. К уравнениям такого же типа приводит задача о малых колебаниях механических систем с двумя степенями свободы, например двух связанных маятников. Целесообразно рассмотреть все эти колебания совместно. Поэтому мы не будем конкретизировать колебательную систему, а предположим только, что ее конфигурация определяется какими-то координатами $x_{1}$ и $x_{2}$ подчиняющимися системе дифференциальных уравнений
\[
\ddot{x}_{1}+a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=0, \quad \ddot{x}_{2}+a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=0,
\]

где $a_{i k}$ – постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов, как и смысл координат $x_{1}$ и $x_{2}$, устанавливаются в каждом конкретном случае в отдельности.
2. Попытаемся сначала найти частное решение системы уравнений (137.8):
\[
x_{1}=A_{1} e^{i \omega t}, \quad x_{2}=A_{2} e^{i \omega t},
\]

где $A_{1}$ и $A_{2}$ – постоянные. После подстановки в (137.8) получаем
\[
\left(a_{11}-\omega^{2}\right) A_{1}+a_{12} A_{2}=0, \quad a_{21} A_{1}+\left(a_{22}-\omega^{2}\right) A_{2}=0 .
\]

Такая система линейных однородных уравнений имеет отличное от нуля решение только при выполнении условия
\[
\left|\begin{array}{ll}
a_{11}-\omega^{2} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}-\omega^{2}
\end{array}\right|=0 .
\]

Это – квадратное уравнение относительно $\omega^{2}$. Обозначим его корни через $\omega_{1}^{2}$ и $\omega_{2}^{2}$. Не представляет труда показать, что в обоих примерах, приведенных выше, оба эти корня вещественны и притом положительны. В общем случае, когда система не конкретизирована, условие вещественности и положительности корней должно быть введено в качестве независимого требования, которому должны удовлетворять коэффициенты $a_{i k}$. Для $\omega$ получаются четыре значения: $\pm \omega_{1}$ и $\pm \omega_{2}$. Однако введение отрицательных $\omega$ не дает ничего нового. Действительно, коэффициенты уравнений (137.8) вещественны и нас должны интересовать лишь вещественные решения этих уравнений. Но вещественные части выражений $A e^{i \omega t}$ и $A e^{-i \omega t}$ имеют один и тот же вид, а именно $C \cos (\omega t+\delta)$, где $C$ и $\delta$ – произвольные постоянные. Поэтому, не теряя общности, можно ограничиться лишь положительными корнями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.

Как видно из (137.10), коэффициенты $A_{1}$ и $A_{2}$ не независимы. Их отношение однозначно определяется значениями коэффициентов $a_{i k}$ и частоты $\omega$ :
\[
h \equiv \frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{\omega^{2}-a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{21}}{\omega^{2}-a_{22}} .
\]

Соответственно двум значениям частоты $\omega$ получаются и два значения отношения $h$, обозначаемые в дальнейшем через $h_{1}$ и $h_{2}$. Таким образом, мы нашли два частных решения уравнений (137.8).
Первое решение: $x_{1}=e^{i \omega_{1} t}, x_{2}=h_{1} e^{i \omega_{1} t}$.
Второе решение: $x_{1}=e^{i \omega_{2} t}, x_{2}=h_{2} e^{i \omega_{2} t}$.
Общее решение выражается линейной комбинацией этих двух частных решений с постоянными коэффициентами, т. е.
\[
x_{1}=C_{1} e^{i \omega_{1} t}+C_{2} e^{i \omega_{2} t}, \quad x_{2}=h_{1} C_{1} e^{i \omega_{1} t}+h_{2} C_{2} e^{i \omega_{2} t},
\]

суперпозицией нормальных колебаний с мало отличающимися частотами. На протяжении нескольких колебаний обе координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ колеблются почти так, как если бы связи не было. Наличие слабой связи приводит к возникновению биений, схематически изображенных на рис. 294. Когда амплитуда координаты $x_{1}$ проходит через максимум, амплитуда координаты $x_{2}$ обращается в нуль, и наоборот. Явление легко демонстрируется с помощью двух одинаковых математических маятников, между которыми установлена слабая связь. Отклонив первый маятник, наблюдают, что амплитуда его колебаний медленно убывает и второй маятник также начинает колебаться. На протяжении нескольких десятков периодов колебания первого маятника полностью затухнут, а колебания второго станут максимальными. После этого начнется затухание колебаний второго маятника. Первый маятник, наоборот, начнет раскачиваться, и по истечении такого же числа десятков периодов его амплитуда вернется к исходному значению. Затем процесс передачи колебаний от одного маятника к другому будет повторяться, пока в результате действия сил трения колебания не прекратятся.
5. Затухающие собственные колебания в связанных системах рассматриваются так же, как и незатухающие. Надо только ввести в уравнения (137.6) линейные члены, содержащие первые производные $\dot{x}_{1}$ и $\dot{x}_{2}$. Можно также рассмотреть вынужденные колебания, введя внешние силы, действующие на систему. Это делается так же, как и в случае системы с одной степенью свободы. Наконец, когда число степеней свободы системы $n$ больше двух, то для задания ее конфигурации требуется $n$ координат. Если эти координаты описываются линейными уравнениями типа (137.8), то всякое колебание системы также представится суперпозицией нормальных колебаний $c$ п частотами. Некоторые из этих частот могут совпадать. Тогда говорят о вырождении. Вырожденный случай можно свести к невырожденному. Для этого надо «снять вырождение», т. е. слегка изменить коэффициенты уравнений, а затем совершить предельный переход к первоначальным значениям этих коэффициентов.