1. Формулы (69.2) выражают магнитную энергию через токи и магнитные потоки. В таком виде величина (69.3) может рассматриваться как потенциальная энергия токов, взаимодействующих по закону Ампера. Это соответствует представлению о непосредственном действии на расстоянии. Но выражение для магнитной энергии можно преобразовать в другую форму, которая соответствует иному представлению о месте нахождения энергии. Покажем это на примере длинного соленоида, по поверхности которого циркулирует ток с линейной плотностью $i=I / l$ ( $l$ — длина соленоида). Мы не будем пользоваться выражениями (69.3) для энергии токов, так как они справедливы лишь при условии, что векторы В и $\mathbf{H}$ связаны соотношением $\mathbf{B}=$ $=\mu \mathbf{H}$, а воспользуемся общей формулой (69.2), справедливость которой предполагает только, что между В и Н существует какая-то однозначная, но не обязательно линейная функциональная связь (нет гистерезиса). Пренебрегая краевыми эффектами, можно написать для поля $H$ внутри соленоида $H=4 \pi i / c=4 \pi I /(c l)$, откуда $I=c l H /(4 \pi)$. Пусть $S$ — площадь поперечного сечения соленоида. Тогда $\Phi=B S$, и, следовательно,
\[
d W_{m}=\frac{I}{c} d \Phi=\frac{1}{4 \pi} l S H d B=\frac{V}{4 \pi}(\mathbf{H} d \mathbf{B})
\]
( $V=S l$ — объем соленоида). Если $w_{m}$ — магнитная энергия, приходящаяся на единицу объема соленоида, то для ее дифференциала можно написать
\[
\delta A^{\text {внеш }}=d w_{m}=\frac{1}{4 \pi}(\mathbf{H} d \mathbf{B}) .
\]

И в общем случае постоянных электрических токов, произвольным образом текущих в пространстве, можно доказать, что выражение для магнитной энергии может быть преобразовано к виду
\[
W_{m}=\int w_{m} d V
\]

где $w_{m}$ определяется прежней формулой (70.1). Это — чисто математический вопрос, совершенно аналогичный соответствующему вопросу в электростатике. Опуская здесь математические преобразования, остановимся только на физическом смысле формулы (70.2). Ее можно истолковать в том смысле, что магнитная энергия локализована в пространстве с обгемной плотностъю $w_{m}$. Это соответствует представлениям теории поля. В рамках учения о постоянных токах и постоянных магнитных полях нельзя указать ни одного опыта, который бы решал вопрос в пользу одного из двух представлений о локализации магнитной энергии: представления теории непосредственного действия на расстоянии и представления теории поля. Здесь дело обстоит совершенно так же, как в электростатике. Лишь явления в быстропеременных полях, например распространение электромагнитных волн, позволяют сделать соответствующий выбор. Они согласуются только с представлением теории поля о локализации магнитной энергии в пространстве. В случае быстропеременных полей формулы (69.3) просто лишены смысла.

В случае пара- и диамагнитных сред $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$ и выражение (70.1) можно проинтегрировать. Таким путем получим
\[
w_{m}=\frac{1}{8 \pi} \mu H^{2}=\frac{1}{8 \pi} \mathbf{H B}=\frac{B^{2}}{8 \pi \mu} .
\]

2. Приведем теперь математическое доказательство формулы (70.2) Как будет видно из доказательства, можно ограничиться магнитным полем одного витка. Обобщение на случай многих витков чисто формальное и не встречает никаких затруднений. Считая виток неподвижным и полагая в формуле (69.2) $d \Phi=\int_{S} d \mathbf{B} d \mathbf{S}$, получим
\[
d W_{m}=\frac{I}{c} \int_{S} d \mathbf{B} d \mathbf{S},
\]

где интегрирование ведется по произвольной поверхности, натянутой на контур тока $l$. Дальнейшие преобразования используют понятие векторного потенциала. Можно доказать (см. задачи 1 и 2 к этому параграфу), что всякий вектор, дивергенция которого равна нулю, может быть представлен в виде ротора другого вектора. Так как $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$, то на этом основании можно написать
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

Вектор А и называется векторным потенциалом магнитного поля. Из формулы (70.4) следует: $d \mathbf{B}=\operatorname{rot} d \mathbf{A}$. Используя это соотношение и применяя теорему Стокса, находим
\[
d W_{m}=\frac{I}{c} \int_{S} d \mathbf{S} \operatorname{rot} d \mathbf{A}=\frac{I}{c} \oint_{l}(d \mathbf{l} d \mathbf{A}) .
\]

Вместо линейного введем объемный элемент тока $\mathbf{j} d V=I d \mathbf{l}$ и воспользуемся теоремой о циркуляции $\operatorname{rot} \mathbf{H}=4 \pi \mathbf{j} / c$. Тогда
\[
d W_{m}=\frac{1}{4 \pi} \int_{V}(d \mathbf{A} \operatorname{rot} \mathbf{H}) d V,
\]

где интеграл распространен по всему пространству, по которому течет ток. Применяя известное тождество векторного анализа (см. задачу 3 к этому параграфу), преобразуем подынтегральное выражение к виду
\[
d \mathbf{A} \operatorname{rot} \mathbf{H}=\operatorname{div}[\mathbf{H} d \mathbf{A}]+\mathbf{H} \operatorname{rot} d \mathbf{A}=\operatorname{div}[\mathbf{H} d \mathbf{A}]+\mathbf{H} d \mathbf{B} .
\]

Интеграл от дивергенции можно преобразовать в поверхностный, взяв в качестве поверхности интегрирования бесконечно удаленную поверхность. Если все токи текут в конечной области пространства, то магнитное поле будет убывать на бесконечности достаточно быстро и рассматриваемый интеграл обратится в нуль.
В результате получится
\[
d W_{m}=\frac{1}{4 \pi} \int_{V}(\mathbf{H} d \mathbf{B}) d V .
\]

Отсюда после интегрирования по $d \mathbf{B}$ получим
\[
W_{m}=\int w_{m} d V, \quad \text { где } \quad w_{m}=\frac{1}{4 \pi} \int \mathbf{H} d \mathbf{B} .
\]

ЗАДАЧИ
1. Доказать, что для произвольного вектора А справедливо соотношение $\operatorname{div} \operatorname{rot} \mathbf{A}=0$.
2. Доказать, что если $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$, то вектор $\mathbf{B}$ может быть представлен в виде $\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A}$.

Решение. Содержание теоремы сводится к утверждению, что уравнение $\operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{B}$, где $\mathbf{B}$ — заданный, а $\mathbf{A}-$ неизвестный вектор, имеет решение. Покажем, например, что существует решение, в котором $A_{z}=$ $=0$. В этом случае рассматриваемое уравнение сводится к системе трех скалярных уравнений:
\[
\frac{\partial A_{y}}{\partial z}=-B_{x}, \quad \frac{\partial A_{x}}{\partial z}=B_{y}, \quad \frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}=B_{z} .
\]

Первым двум уравнениям можно удовлетворить, полагая
\[
A_{y}=-\int_{z_{0}}^{z} B_{x} d z+f(x, y), \quad A_{x}=\int_{z_{0}}^{z} B_{y} d z,
\]

где $f(x, y)$ — произвольная функция. Подставляя это решение в третье уравнение и учитывая, что $\partial B_{x} / \partial x+\partial B_{y} / \partial y=-\left(\partial B_{z} / \partial z\right)$, получим
\[
\int_{z_{0}}^{z} \frac{\partial B_{z}}{\partial z} d z+\frac{\partial f}{\partial x}=B_{z}
\]

откуда
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=B_{z}\left(x, y, z_{0}\right)
\]

и, далее,
\[
f(x, y)=\int B_{z}\left(x, y, z_{0}\right) d x .
\]

Таким образом, найдено одно из решений уравнения $\operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{B}$, и теорема доказана. Заметим, что это уравнение при условии $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$ имеет бесчисленное множество решений, т. е. векторный потенциал определен не однозначно.
3. Доказать тождество
\[
\operatorname{div}[\mathbf{A B}]=\mathbf{B} \operatorname{rot} \mathbf{A}-\mathbf{A} \operatorname{rot} \mathbf{B} .
\]

Решение. В справедливости этого тождества нетрудно убедиться непосредственной проверкой, если записать его в прямоугольных координатах. Однако выкладки получатся более простыми и естественными, если применить символический метод. На основании определения векторного произведения и дивергенции
\[
\operatorname{div}[\mathbf{A B}]=\operatorname{div}\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
A_{x} & A_{y} & A_{z} \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_{x} & A_{y} & A_{z} \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right| .
\]

Переставив первую строку полученного определителя со второй, а затем с третьей, соблюдая при этом известное правило знаков, получим два новых определителя:
\[
-\left|\begin{array}{ccc}
A_{x} & A_{y} & A_{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right| \quad \text { и } \quad+\left|\begin{array}{ccc}
B_{x} & B_{y} & B_{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_{x} & A_{y} & A_{z}
\end{array}\right| .
\]

Оба эти определителя, однако, не равны исходному. Это связано с тем, что к рассматриваемому определителю обычное правило перестановки строк неприменимо, так как первая строка его состоит не из чисел, а из операторов.

Пользуясь правилом дифференцирования произведения, нетрудно, однако, заметить, что сумма определителей, полученных в результате перестановки, равна исходному определителю, т. е.
\[
\operatorname{div}[\mathbf{A B}]=\left|\begin{array}{ccc}
B_{x} & B_{y} & B_{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_{x} & A_{y} & A_{z}
\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}
A_{x} & A_{y} & A_{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right| .
\]

Очевидно, это соотношение можно переписать так:
\[
\operatorname{div}[\mathbf{A B}]=\mathbf{B}\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_{x} & A_{y} & A_{z}
\end{array}\right|-\mathbf{A}\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right|
\]

или
\[
\operatorname{div}[\mathbf{A B}]=\mathbf{B} \operatorname{rot} \mathbf{A}-\mathbf{A} \operatorname{rot} \mathbf{B} .
\]