1. Результирующая сила, действующая на виток с током в постоянном магнитном поле, дается выражением
\[
\mathbf{F}=\frac{I}{c} \oint[d \mathbf{l} \mathbf{B}]
\]

где интегрирование производится по контуру витка. Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под знака интеграла. Задача сведется к вычислению векторного интеграла $\oint d l$, а такой интеграл равен нулю. Значит, в однородном поле равна нулю и сила $\mathbf{F}$. Однако момент этой силы $\mathbf{M}$, вообще говоря, в нуль не обращается. Займемся его вычислением.
2. Рассмотрим сначала плоский виток, плоскость которого параллельна магнитному полю В (рис. 130). Проведя достаточно часто маг-
Рис. 130

нитные силовые линии, разобьем виток на пары элементов тока $I d \mathbf{l}_{1}$ и $I d \mathbf{l}_{2}$. Действующие на них амперовы силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ перпендикулярны к плоскости витка и противоположны по направлению. По закону Ампера $F_{1}=I B d l_{1} \sin \alpha / c=I B d h / c$, где $d h$ – высота криволинейного четырехугольника $A E C D$. Тем же выражением определяется значение силы $F_{2}$. Таким образом, $F_{1}=F_{2}$, т. е. $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ образуют пару сил с моментом $d M=I B a d h / c=I B d S / c$, где $a$ – плечо пары, а $d S-$ площадь четырехугольника $A E C D$. Интегрированием получаем $M=$ $=I B S / c$, где $S-$ площадь, охватываемая рассматриваемым витком тока. Вращающий момент $\mathbf{M}$ направлен вертикально вверх. Введем вектор площади контура $\mathbf{S}$, образующий с направлением тока правовинтовую систему. (Вектор $\mathbf{S}$ перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен к читателю.) Тогда полученный результат можно записать в векторной форме:
\[
\mathbf{M}=[\mathfrak{M} \mathbf{B}],
\]

где введено обозначение
\[
\mathfrak{M}=\frac{I}{c} \mathbf{S} .
\]

Вектор $\mathfrak{M}$ называется магнитным моментом тока.
Допустим теперь, что плоскость витка перпендикулярна к магнитному полю. В этом случае амперова сила $d \mathbf{F}=I[d \mathbf{l} \mathbf{B}] / c$, действующая на элемент тока $I d \mathbf{l}$, будет лежать в плоскости витка и будет равна по модулю $I B d l / c$. Такие силы, в зависимости от направления тока, будут только растягивать или сжимать виток. Однако их момент равен нулю. В этом нетрудно убедиться, когда виток имеет форму прямоугольника или треугольника (рис. 131). (Точки означают, что магнитное поле перпендикулярно к плоскости рисунка и направлено
Рис. 131

к читателю.) Но к этим частным случаям сводится и общий случай, когда форма (плоского) витка произвольна. Достаточно провести прямые, разбивающие плоскость витка на бесконечно малые прямоугольники и треугольники, и вообразить, что по этим прямым в противоположных направлениях пропущены равные токи силой I (рис. 132). Добавление таких токов ничего не меняет, так как полный ток, текущий по каждой вспомогательной прямой, равен нулю. Однако теперь полный момент М может быть представлен в виде суммы моментов, действующих на элементарные прямоугольники и треугольники. Поскольку эти моменты равны нулю, будет равен нулю и полный момент М.

Рассмотрим, наконец, случай, когда магнитное поле направлено под углом к плоскости контура. Представим вектор $\mathbf{B}$ в виде $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{\|}+\mathbf{B}_{\perp}$, где $\mathbf{B}_{\|}$- составляющая вектора $\mathbf{B}$, параллельная, а $\mathbf{B}_{\perp}$ – перпендикулярная к плоскости контура. Вторая составляющая не вносит вклада в момент $\mathbf{M}$. Поэтому $\mathbf{M}=\left[\mathfrak{M} \mathbf{B}_{\|}\right]=[\mathfrak{M} \mathbf{B}]$. Таким образом, и в этом случае справедлива формула (52.1).
Формула (52.1) верна и в том случае, когда контур тока не плоский, однако магнитное поле однородно. Чтобы убедиться в этом, натянем на контур с током произвольную поверхность $S$
Рис. 132 и разобьем ее вспомогательными линиями на элементарные площадки $d \mathbf{S}$ подобно тому, как это сделано на рис. 132. Пропустив по этим вспомогательным линиям равные и противоположно направленные токи силой $I$, представим момент $\mathbf{M}$ в виде суммы моментов, действующих на такие элементарные площадки. Но каждая площадка, ввиду ее бесконечной малости, может рассматриваться как плоская и к ней применима формула (52.1). Сложив моменты, действующие на элементарные площадки, снова получим формулу (52.1), причем магнитный момент тока $\mathfrak{M}$ будет определяться прежним выражением (52.2), в котором под вектором $\mathbf{S}$ следует понимать векторный интеграл $\mathbf{S}=\int d \mathbf{S}$, взятый по поверхности $S$, натянутой на контур тока. Вектор $\mathbf{S}$ не зависит от выбора вспомогательной поверхности $S$, а только от контура, на который она натянута.

Формула (52.1) справедлива и для соленоида, поскольку последний можно рассматривать как систему кольцевых токов. Магнитный момент соленоида, очевидно, определяется прежней формулой (52.2), если под $I$ понимать полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида, а под $S$ – площадь его поперечного сечения. Для проволочной спирали с малым шагом, состоящей из $N$ витков, $\mathfrak{M}=N I \mathbf{S} / c$.
3. Под действием вращающего момента $\mathrm{M}$ виток или катушка будут поворачиваться так, чтобы векторы М и В стали параллельными и одинаково направленными. Это – положение устойчивого равновесия. В положении, когда $\mathfrak{M}$ и В параллельны и направлены противоположно, также имеет место равновесие, но такое равновесие неустойчивое.

Формула (52.1) приближенно применима и для неоднородных магнитных полей. Необходимо только, чтобы размеры витка или катушки были малы. Тогда влиянием неоднородности поля на вращающий момент можно пренебречь. Такие витки и катушки могут быть использованы для практических измерений магнитных полей. Тогда они называются пробными. Пробные витки и катушки играют в магнитных измерениях ту же роль, что и пробные заряды в электрических измерениях. Если пробную катушку поместить в магнитное поле, то ее магнитный момент $\mathfrak{M}$ установится вдоль поля $\mathbf{B}$. Повернем катушку из этого положения на $90^{\circ}$, чтобы вращающий момент $\mathbf{M}$ обратился в максимум. Тогда магнитный момент $\mathfrak{M}$ будет перпендикулярен к вектору $\mathbf{B}$, т.е. $(\mathfrak{M B})=0$. Поэтому, умножая равенство (52.1) векторно на $\mathfrak{M}$, получим
\[
\mathbf{B}=\frac{[\mathbf{M} \mathfrak{M}]}{\mathfrak{M}^{2}} .
\]

Измерив вращающий момент М, можно по этой формуле найти напряженность магнитного поля как по модулю, так и по направлению. В частности, такие измерения позволяют проверить закон Био и Савара в интегральной форме (50.11).