1. Рассмотрим произвольную систему $n$ заряженных неподвижных проводников, пространство между которыми заполнено неподвижным диэлектриком – однородным или неоднородным. Такую систему иногда называют сложным конденсатором. Будем предполагать, что свободных зарядов в диэлектрике нет. Докажем, что при этих условиях потенциалы проводников будут линейными однородными функциями их зарядов. При этом, как обычно, потенциал поля в бесконечности принимается равным нулю.

Предположим сначала, что все проводники не заряжены. Сообщим затем одному только $i$-му проводнику заряд, равный единице. Этим однозначно определится электрическое поле $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ во всем пространстве и соответствующие ему потенциал $V_{i}(\mathbf{r})$ и индукция $\mathbf{D}_{i}=\varepsilon(\mathbf{r}) \mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$. По теореме Гаусса поток вектора $\mathbf{D}_{i}$ через поверхность $i$-го проводника будет равен $4 \pi$, а через поверхности остальных проводников – нулю. Значение потенциала $V_{i}(\mathbf{r})$ в месте нахождения $j$-го проводника обозначим $V_{j i}$. Коэффициенты $V_{j i}$ зависят только от формы и расположения проводников, а также от диэлектрической проницаемости диэлектрика между ними. Они называются потенциальными коэффициентами. Ввиду линейности и однородности уравнений электростатики произвольная линейная комбинация векторов $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ и $\mathbf{D}_{i}(\mathbf{r})$ с постоянными коэффициентами $q_{i}$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{n} q_{i} \mathbf{E}_{i}(\mathbf{r}), \\
\mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon \mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{n} q_{i} \mathbf{D}_{i}(\mathbf{r}),
\end{array}
\]

удовлетворяет этим уравнениям. Действительно, вектор $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ потенциальный, так как все поля $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ потенциальны. В диэлектрике вектор $\mathbf{D}$ удовлетворяет уравнению $\operatorname{div} \mathbf{D}=0$, так как $\operatorname{div} \mathbf{D}_{i}=0$. Наконец, в проводниках $\mathbf{E}=0$. Таким образом, выражения $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ могут рассматриваться как напряженность и индукция какого-то электростатического поля. Заряды, возбуждающие такое поле, не могут находиться внутри диэлектрика, так как $4 \pi \rho=\operatorname{div} \mathbf{D}=0$. Остается выяснить физический смысл постоянных коэффициентов $q_{i}$, введенных выше чисто формально. Для этого замечаем, что заряд на поверхности $i$-го проводника согласно теореме Гаусса равен
\[
Q_{i}=\frac{1}{4 \pi} \oint_{S_{i}}(\mathbf{D} d \mathbf{S})=\frac{1}{4 \pi} \sum_{j} q_{j} \oint_{S_{i}}\left(\mathbf{D}_{j} d \mathbf{S}\right)=\frac{q_{i}}{4 \pi} \oint_{S_{i}}\left(\mathbf{D}_{i} d \mathbf{S}\right)=q_{i} .
\]

На основании теоремы единственности можно поэтому сказать, что выражение (27.1) определяет электростатическое поле системы $n$ проводников, заряды которых равны соответственно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Потенциал поля (27.1) определяется выражением
\[
\varphi(\mathbf{r})=\sum_{j=1}^{n} q_{j} V_{j}(\mathbf{r})
\]

Поместив точку $\mathbf{r}$ на поверхности $i$-го проводника, находим его потенциал
\[
\varphi_{i}=\sum_{j=1}^{n} V_{i j} q_{j} .
\]

Разрешив эти уравнения относительно $q_{i}$, получим
\[
q_{i}=\sum_{j=1}^{n} C_{i j} \varphi_{j}
\]

Постоянные $C_{i j}$ называются емкостными коэффициентами ${ }^{1}$ ). Как и потенциальные коэффициенты, они определяются только величиной,
${ }^{1}$ В старой литературе коэффициенты $C_{i j}$ назывались коэффициентами емкости, когда $i=j$, и коэффициентами индукции, когда $i
eq j$. Мы не следуем этой терминологии.

формой и расположением проводников, а также диэлектрической проницаемостью промежуточной среды. В § 28 будет доказано, что емкостные, а следовательно, и потенциальные коэффициенты симметричны, т. е. $C_{i j}=C_{j i}, V_{i j}=V_{j i}$.

Таким образом, заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов, а потенииалы – линейными однородными функииями зарядов.

Если диэлектрик между проводниками однороден, то все емкостные коэффициенты $C_{i k}$ будут пропорциональны его диэлектрической проницаемости $\varepsilon$.

Для конденсатора число проводников (обкладок) равно двум. В этом случае
\[
q_{1}=C_{11} \varphi_{1}+C_{12} \varphi_{2}, \quad q_{2}=C_{21} \varphi_{1}+C_{22} \varphi_{2},
\]

причем $q_{2}=-q_{1}$. Решив эти уравнения относительно $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, найдем разность потенциалов $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ и емкость конденсатора:
\[
C=\frac{C_{11} C_{22}-C_{12} C_{21}}{C_{11}+C_{22}+C_{12}+C_{21}} .
\]
2. Отметим некоторые свойства потенциальных и емкостных коэффициентов. Мы не будем приводить их строгие математические доказательства, а ограничимся интуитивными, но достаточно убедительными физическими соображениями.

Все потенциальные коэффициенты $V_{i j}$ положительны. Действительно, если $j$-му проводнику сообщить положительный заряд $q$, а остальные проводники оставить незаряженными, то интуитивно ясно, что потенциал во всех точках пространства будет положителен. При этом $\varphi_{i}=V_{i j} q$. Из положительности $\varphi_{i}$ следует $V_{i j}>0$.

Интуитивно также ясно, что максимальным будет потенциал проводника, которому сообщен заряд, т. е. $\varphi_{j}>\varphi_{i}$. Отсюда следует, что $V_{j j}>V_{i j}(i
eq j)$.

Емкостные коэффициенты $C_{i j}$ с одинаковыми индексами положительны, а с разными – отрицательны. Действительно, заземлим все проводники, за исключением $i$-ro. Тогда $q_{i}=C_{i i} \varphi_{i}$. Величины $q_{i}$ и $\varphi_{i}$ будут иметь одинаковые знаки, а потому должно быть $C_{i i}>0$. Теперь заземлим все проводники, за исключением $i$-rо и $j$-го, $i$-му проводнику сообщим положительный заряд $q_{i}$ а $j$-й проводник оставим незаряженным. Тогда потенциалы $\varphi_{i}$ и $\varphi_{j}$ будут положительны, причем $q_{j}=0=C_{j i} \varphi_{i}+$ $+C_{j j} \varphi_{i}=0$. Это равенство может соблюдаться только при условии $C_{j i}<0$.
Покажем, наконец, что $\sum_{j=1}^{n} C_{i j} \geqslant 0$. Для этого предположим, что $i$-й проводник, которому сообщен положительный заряд $q_{i}$, окружен со всех сторон заземленной замкнутой проводящей оболочкой произвольной формы (рис. 83). По теореме Фарадея на оболочке индуцируется отрицательный заряд $q^{\prime}=-q_{i}$. Удалим в бесконечность некоторые части оболочки, чтобы из оставшихся частей образова-
Рис. 83

лось $n-1$ заземленных проводников с зарядами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{i-1}, q_{i+1}, \ldots$, $q_{n}$. Сумма этих зарядов по абсолютной величине будет меньше $q_{i}$. С учетом знаков можно написать $\sum_{j=1}^{n} q_{j} \geqslant 0$. Подставив сюда $q_{j}=C_{j i} \varphi_{i}$ и приняв во внимание, что $\varphi_{i}>0$, получим требуемый результат.
ЗАДАЧИ
1. K положительно заряженному уединенному проводнику подносится незаряженный изолированный проводник. Показать, что при этом потенциалы обоих проводников будут увеличиваться, а разность потенциалов между ними уменьшаться. Рассмотреть также случай, когда первый проводник был заряжен отрицательно.
2. Проводник заряжается от электрофора путем повторяющихся поднесений к пластинке, которая после каждого поднесения снова заряжается от того же электрофора до заряда $Q$. Пусть $q_{1}$ – заряд на проводнике после первой операции. Определить заряд $q$ на проводнике после очень большого числа операций.

Решение. При поднесении проводника к пластинке общий заряд в определенном отношении распределяется между этими телами. При первом поднесении проводник получает заряд $q_{1}$, на пластинке остается $Q-q_{1}$. Если операция зарядки повторена многократно, то при последующих соприкосновениях проводника с пластинкой его заряд практически уже меняться не будет. Заряд пластинки также не будет меняться и будет равен $Q$, поскольку пластинка заряжается от электрофора. Искомый заряд $q$ определится из пропорции
\[
\frac{q}{Q}=\frac{q_{1}}{Q-q_{1}} .
\]
3. Три одинаковых изолированных металлических шара расположены в вершинах равностороннего треугольника. Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах оказались после этого равными $q_{1}$ и $q_{2}$. Найти заряд на третьем шаре $q_{3}$.

Решение. В силу симметрии имеем $V_{11}=V_{22}=V_{33}=A, V_{12}=V_{21}=$ $=V_{23}=B$. При зарядке первого шара он получает потенциал $\varphi_{1}=A q_{1}$. При зарядке остальных двух шаров потенциал первого шара меняется, но его значения для решения не нужны. При зарядке второго шара его потенциал становится равным также $\varphi_{1}=A q_{2}+B q_{1}$. Аналогично для третьего шара: $\varphi_{1}=A q_{3}+B\left(q_{1}+q_{2}\right)$. Таким образом,
\[
A q_{1}=A q_{2}+B q_{1}=A q_{3}+B\left(q_{1}+q_{2}\right) .
\]

Отсюда
\[
q_{3}=\frac{q_{2}^{2}}{q_{1}} .
\]
4. Четыре одинаковых изолированных металлических шара расположены в вершинах правильного тетраэдра. Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух шарах оказались после этого равными $q_{1}$ и $q_{2}$. Найти заряды на двух остальных шарах.
Ответ. $q_{3}=q_{2}^{2} / q_{1}, q_{4}=q_{2}^{3} / q_{1}^{2}$.