Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Рассмотрим произвольную систему $n$ заряженных неподвижных проводников, пространство между которыми заполнено неподвижным диэлектриком — однородным или неоднородным. Такую систему иногда называют сложным конденсатором. Будем предполагать, что свободных зарядов в диэлектрике нет. Докажем, что при этих условиях потенциалы проводников будут линейными однородными функциями их зарядов. При этом, как обычно, потенциал поля в бесконечности принимается равным нулю. Предположим сначала, что все проводники не заряжены. Сообщим затем одному только $i$-му проводнику заряд, равный единице. Этим однозначно определится электрическое поле $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ во всем пространстве и соответствующие ему потенциал $V_{i}(\mathbf{r})$ и индукция $\mathbf{D}_{i}=\varepsilon(\mathbf{r}) \mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$. По теореме Гаусса поток вектора $\mathbf{D}_{i}$ через поверхность $i$-го проводника будет равен $4 \pi$, а через поверхности остальных проводников — нулю. Значение потенциала $V_{i}(\mathbf{r})$ в месте нахождения $j$-го проводника обозначим $V_{j i}$. Коэффициенты $V_{j i}$ зависят только от формы и расположения проводников, а также от диэлектрической проницаемости диэлектрика между ними. Они называются потенциальными коэффициентами. Ввиду линейности и однородности уравнений электростатики произвольная линейная комбинация векторов $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ и $\mathbf{D}_{i}(\mathbf{r})$ с постоянными коэффициентами $q_{i}$, т. е. удовлетворяет этим уравнениям. Действительно, вектор $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ потенциальный, так как все поля $\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r})$ потенциальны. В диэлектрике вектор $\mathbf{D}$ удовлетворяет уравнению $\operatorname{div} \mathbf{D}=0$, так как $\operatorname{div} \mathbf{D}_{i}=0$. Наконец, в проводниках $\mathbf{E}=0$. Таким образом, выражения $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ могут рассматриваться как напряженность и индукция какого-то электростатического поля. Заряды, возбуждающие такое поле, не могут находиться внутри диэлектрика, так как $4 \pi \rho=\operatorname{div} \mathbf{D}=0$. Остается выяснить физический смысл постоянных коэффициентов $q_{i}$, введенных выше чисто формально. Для этого замечаем, что заряд на поверхности $i$-го проводника согласно теореме Гаусса равен На основании теоремы единственности можно поэтому сказать, что выражение (27.1) определяет электростатическое поле системы $n$ проводников, заряды которых равны соответственно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Потенциал поля (27.1) определяется выражением Поместив точку $\mathbf{r}$ на поверхности $i$-го проводника, находим его потенциал Разрешив эти уравнения относительно $q_{i}$, получим Постоянные $C_{i j}$ называются емкостными коэффициентами ${ }^{1}$ ). Как и потенциальные коэффициенты, они определяются только величиной, формой и расположением проводников, а также диэлектрической проницаемостью промежуточной среды. В § 28 будет доказано, что емкостные, а следовательно, и потенциальные коэффициенты симметричны, т. е. $C_{i j}=C_{j i}, V_{i j}=V_{j i}$. Таким образом, заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов, а потенииалы — линейными однородными функииями зарядов. Если диэлектрик между проводниками однороден, то все емкостные коэффициенты $C_{i k}$ будут пропорциональны его диэлектрической проницаемости $\varepsilon$. Для конденсатора число проводников (обкладок) равно двум. В этом случае причем $q_{2}=-q_{1}$. Решив эти уравнения относительно $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, найдем разность потенциалов $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ и емкость конденсатора: Все потенциальные коэффициенты $V_{i j}$ положительны. Действительно, если $j$-му проводнику сообщить положительный заряд $q$, а остальные проводники оставить незаряженными, то интуитивно ясно, что потенциал во всех точках пространства будет положителен. При этом $\varphi_{i}=V_{i j} q$. Из положительности $\varphi_{i}$ следует $V_{i j}>0$. Интуитивно также ясно, что максимальным будет потенциал проводника, которому сообщен заряд, т. е. $\varphi_{j}>\varphi_{i}$. Отсюда следует, что $V_{j j}>V_{i j}(i Емкостные коэффициенты $C_{i j}$ с одинаковыми индексами положительны, а с разными — отрицательны. Действительно, заземлим все проводники, за исключением $i$-ro. Тогда $q_{i}=C_{i i} \varphi_{i}$. Величины $q_{i}$ и $\varphi_{i}$ будут иметь одинаковые знаки, а потому должно быть $C_{i i}>0$. Теперь заземлим все проводники, за исключением $i$-rо и $j$-го, $i$-му проводнику сообщим положительный заряд $q_{i}$ а $j$-й проводник оставим незаряженным. Тогда потенциалы $\varphi_{i}$ и $\varphi_{j}$ будут положительны, причем $q_{j}=0=C_{j i} \varphi_{i}+$ $+C_{j j} \varphi_{i}=0$. Это равенство может соблюдаться только при условии $C_{j i}<0$. лось $n-1$ заземленных проводников с зарядами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{i-1}, q_{i+1}, \ldots$, $q_{n}$. Сумма этих зарядов по абсолютной величине будет меньше $q_{i}$. С учетом знаков можно написать $\sum_{j=1}^{n} q_{j} \geqslant 0$. Подставив сюда $q_{j}=C_{j i} \varphi_{i}$ и приняв во внимание, что $\varphi_{i}>0$, получим требуемый результат. Решение. При поднесении проводника к пластинке общий заряд в определенном отношении распределяется между этими телами. При первом поднесении проводник получает заряд $q_{1}$, на пластинке остается $Q-q_{1}$. Если операция зарядки повторена многократно, то при последующих соприкосновениях проводника с пластинкой его заряд практически уже меняться не будет. Заряд пластинки также не будет меняться и будет равен $Q$, поскольку пластинка заряжается от электрофора. Искомый заряд $q$ определится из пропорции Решение. В силу симметрии имеем $V_{11}=V_{22}=V_{33}=A, V_{12}=V_{21}=$ $=V_{23}=B$. При зарядке первого шара он получает потенциал $\varphi_{1}=A q_{1}$. При зарядке остальных двух шаров потенциал первого шара меняется, но его значения для решения не нужны. При зарядке второго шара его потенциал становится равным также $\varphi_{1}=A q_{2}+B q_{1}$. Аналогично для третьего шара: $\varphi_{1}=A q_{3}+B\left(q_{1}+q_{2}\right)$. Таким образом, Отсюда
|
1 |
Оглавление
|