Пусть два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ граничат друг с другом вдоль плоскости $M N$ (рис. 70 ). В точке $A$ первого диэлектрика помещен точечный заряд $q$. Найдем электрическое поле в каждом из диэлектриков. В окрестности точки $A$ поле должно стремиться к бесконечности, как кулоново поле точечного заряда $q$. Поэтому поле в первом диэлектрике должно содержать слагаемое $q r /\left(e_{1} r^{3}\right)$. К нему надо добавить поле поляризационных зарядов, возникших на границе раздела диэлектриков. Введем предположение, оправдываемое последующими вычислениями, что поле поляризационных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то точечного заряда $q^{\prime}$, помещенного в точке $A^{\prime}$, зеркально симметричной с $A$ относительно границы раздела. Тогда для поля в первом диэлектрике можно написать
\[
\mathbf{E}_{1}=\frac{q}{\varepsilon_{1} r^{3}} \mathbf{r}+\frac{q^{\prime}}{\varepsilon_{1} r^{\prime 3}} \mathbf{r}^{\prime},
\]

Рис. 70

где $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ — радиусы-векторы, проведенные из зарядов $q$ и $q^{\prime}$ в рассматриваемую точку. Введем второе предположение, также оправдываемое последующими вычислениями, что поле во втором диэлектрике представляется выражением
\[
\mathbf{E}_{2}=\frac{q^{\prime \prime}}{\varepsilon_{2} r^{3}} \mathbf{r}
\]

причем второй (фиктивный) заряд $q^{\prime \prime}$ совмещен пространственно с зарядом $q$ (на рис. 70 он не изображен). Теперь необходимо выражения для $\mathbf{E}_{1}$ и $\mathbf{E}_{2}$ «сшить», чтобы на границе раздела диэлектриков удовлетворялись граничные условия: непрерывность касательных компонент вектора $\mathbf{E}$ и нормальных компонент вектора $\mathrm{D}$. Первое условие имеет вид
\[
\frac{q}{\varepsilon_{1}} \sin \varphi+\frac{q^{\prime}}{\varepsilon_{1}} \sin \varphi=\frac{q^{\prime \prime}}{\varepsilon_{2}} \sin \varphi
\]

а второе —
\[
q \cos \varphi-q^{\prime} \cos \varphi=q^{\prime \prime} \cos \varphi .
\]

Существенно, что угол $\varphi$ выпадает из обоих уравнений. Поэтому если $q^{\prime}$ и $q^{\prime \prime}$ определить из этих уравнений, то граничные условия будут удовлетворены во всех точках границы раздела. Таким путем находим
\[
\mathbf{E}_{1}=\frac{q}{\varepsilon_{1} r^{3}} \mathbf{r}-\frac{1}{\varepsilon_{1}} \frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \frac{q}{r^{\prime 3}} \mathbf{r}^{\prime}, \quad \mathbf{E}_{2}=\frac{2}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \frac{q}{r^{3}} \mathbf{r} .
\]

Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи и, в силу теоремы единственности, дают ее решение. При $\varepsilon_{2} \rightarrow \infty$ они переходят в соответствующие выражения для поля точечного заряда над проводящей плоскостью.
ЗАДАЧА
Какая сила действует на точечный заряд $q$ вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков, если заряд помещен в первом диэлектрике?

Ответ. $F=\frac{1}{4 \varepsilon_{1}} \frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}+\varepsilon_{1}} \frac{q^{2}}{h^{2}}$, где $h-$ расстояние заряда от границы раздела. Заряд притягивается к плоскости, если $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$ и отталкивается, если $\varepsilon_{2}<\varepsilon_{1}$.