На явлении электромагнитной индукции основан простой и удобный метод измерения напряженности магнитных полей. Соединим с баллистическим гальванометром концы небольшого витка проволоки. Расположим плоскость витка перпендикулярно к магнитному полю. Пусть его пронизывает магнитный поток $\Phi$. Если быстро убрать виток из поля или повернуть его вокруг диаметра на $90^{\circ}$, то магнитный поток обратится в нуль. Того же можно достигнуть, выключив ток, возбуждающий магнитное поле. При изменении магнитного потока через виток течет кратковременный ток
\[
I=-\frac{1}{R c} \frac{d \Phi}{d t}
\]

где $R$ – сумма сопротивлений витка, баллистического гальванометра и подводящих проводов. За все время изменения магнитного потока от $\Phi$ до 0 через гальванометр пройдет количество электричества
\[
q=-\frac{1}{R c} \int_{0}^{t} \frac{d \Phi}{d t} d t=\frac{\Phi}{R c} .
\]

Отклонение баллистического гальванометра пропорционально заряду $q$, а потому он позволяет измерить этот заряд. После этого по формуле (67.1) можно вычислить магнитный поток $\Phi$, а затем и индукцию $B$. Для увеличения чувствительности вместо одного витка лучше взять маленькую плоскую катушечку, состоящую из многих витков. Если $n$ – общее число витков, а $S$ – площадь одного витка, то $\Phi=n S B$. Такая катушечка, служащая для измерения магнитного потока $\Phi$, а с ним и индукции $B$, называется флюксметром. Прибор можно проградуировать, чтобы он прямо указывал значение потока $\Phi$ или индукцию $B$.

Явление электромагнитной индукции можно также использовать для измерения магнитного напряжения, т.е. линейного интеграла $\int_{12} \mathbf{B} d \mathbf{s}$. Вообще говоря, такой интеграл зависит не только от положения начальной и конечной точек 1 и 2 , но и от кривой 12 , соединяющей эти точки. Однако при определенных условиях можно выделить такую совокупность кривых, соединяющих точки 1 и 2, что вдоль всех этих кривых интеграл $\int \mathbf{B} d \mathbf{s}$ будет иметь одно и то же значение. Так будет всегда, когда от одной кривой можно перейти к другой непрерывной деформацией, нигде не пересекая электрических токов. Возьмем проволочную спираль, навитую на гибкий ремень, концы которой соединены с баллистическим гальванометром (рис. 162 a). Расположим ось спирали по линии, вдоль которой требуется измерить магнитное напряжение между точками 1 и 2. Магнитный поток $\Phi$ через спираль может быть

Рис. 162
измерен по отбросу баллистического гальванометра совершенно так же, как это делалось в случае флюксметра. Поток может быть представлен в виде
\[
\Phi=\int S n \mathbf{B} d \mathbf{s} .
\]

Здесь $S$ – площадь одного витка, а $n$ – число витков, приходящееся на единицу длины спирали. Если величины $n$ и $S$ не меняются вдоль спирали, то
\[
\Phi=S n \int(\mathbf{B} d \mathbf{s}) .
\]

Отсюда
\[
\int(\mathbf{B} d \mathbf{s})=\frac{\Phi}{S n}=\frac{c R}{n S} q .
\]

В приведенных рассуждениях допущены некоторые неточности. Магнитное поле спирали слагается из магнитных полей круговых токов, которые мы учли. Но есть составляющая тока, параллельная оси спирали. Ее магнитное поле не учтено. Кроме того, есть магнитное поле подводящих проводов. Чтобы влияние этих полей исключить, спираль навивают на ремень в два слоя, идущие навстречу друг другу (рис. 162 б). Концы проводов выводят в одном месте, например в середине ремня. Подводящие провода скручивают. В таком виде прибор называется поясом Роговского. Для измерения магнитного напряжения пояс Роговского располагают между нужными точками вдоль заданной кривой. Затем выключают ток, создающий магнитное поле. Баллистический гальванометр даст отброс, пропорциональный искомому магнитному напряжению.
ЗАДАЧИ
1. Механическая аналогия явления электромагнитной индукци и. Труба, свернутая в кольцо, заполнена жидкостью и находится в поле тяжести Земли. При повороте кольца вокруг его диаметра жидкость приходит в движение вдоль оси трубы. Это движение аналогично индукционному току, возникающему при движении проводника в магнитном поле. Роль силы Лоренца играет сила инерции Кориолиса, вызванная вращением Земли вокруг своей оси. Опыт может служить для доказательства вращения Земли и измерения угловой скорости этого вращения. На основе аналогии описанного явления с электромагнитной индукцией дать количественную теорию его, предполагая, что жидкость несжимаема и не обладает вязкостью, а площадь поперечного сечения трубы всюду одинакова.

Решение. Будем рассматривать движение жидкости относительно системы отсчета, связанной с вращающейся Землей. Это относительное движение происходит под действием гравитационных сил, градиентов давления жидкости, центробежной силы инерции и силы инерции Кориолиса. Все эти силы, за исключением силы Кориолиса, потенциальны. Поэтому относительное движение жидкости можно представить в виде
\[
\mathbf{a}=2[\mathbf{v} \boldsymbol{\Omega}]+\mathbf{a}^{\prime},
\]

где $\boldsymbol{\Omega}$ – угловая скорость осевого вращения Земли, $\mathbf{v} \equiv \mathbf{v}_{\text {отн }}-$ скорость жидкости относительно Земли, $\mathbf{a}^{\prime}$ – ускорение, вызванное потенциальными силами. Потенциальный вектор $\mathbf{a}^{\prime}$ можно исключить, взяв циркуляцию вектора а по замкнутому контуру. В качестве такового выберем геометрическую ось кольцевой трубы. Тогда
\[
\oint \mathbf{a} d s=\oint_{s} \mathbf{f}_{\mathrm{K}} d s,
\]

где $\mathbf{f}_{\mathrm{K}}=2[\mathbf{v} \boldsymbol{\Omega}]$ – кориолисова сила, действующая на единицу массы жидкости. Так как жидкость несжимаема, а площадь поперечного сечения трубы всюду одна и та же, то осевая составляющая ускорения $a_{s}$ будет также всюду одинакова. Вынося ее из-под знака интеграла, получим $a_{s}=\mathscr{E} / s$, где $s-$ длина трубы, а $\mathscr{E}$ означает интеграл $\oint \mathbf{f}_{\mathrm{K}} d s$. Эта формула аналогична закону Ома. Роль силы тока, сопротивления и электродвижущей силы играют величины $a_{s}, s$ и $\mathscr{E}$. Аналогом магнитного поля В служит удвоенная угловая скорость вращения Земли $2 \boldsymbol{\Omega}$. Поэтому на основании закона электромагнитной индукции можно написать $\mathscr{E}=-d \Phi / d t$, где $\Phi$ – поток вектора $2 \boldsymbol{\Omega}$, пронизывающий контур $s$. Таким образом,
\[
a_{s} \equiv \frac{d V}{d t}=-\frac{1}{s} \frac{d \Phi}{d t},
\]

откуда
\[
V=-\frac{1}{s} \Delta \Phi .
\]

Через $V$ обозначена осевая составляющая скорости жидкости.
Допустим, что кольцо имеет форму круга радиуса $R$ и в начальный момент расположено горизонтально. Пусть $S$ – вектор площади кольца в этом положении. Повернем кольцо на $180^{\circ}$ вокруг горизонтальной оси. Тогда
\[
\Phi_{\text {нач }}=2(\boldsymbol{\Omega S}), \quad \Phi_{\text {конеч }}=-2(\boldsymbol{\Omega S}), \quad \Delta \Phi=-4(\boldsymbol{\Omega S})=-4 \Omega S \sin \vartheta .
\]

Здесь $\vartheta-$ географическая широта места, где производится опыт. Подставляя в формулу (67.3) $S=\pi R^{2}, s=2 \pi R$ и предполагая, что в начальный момент жидкость была неподвижна, получим
\[
V=2 \Omega R \sin \vartheta .
\]

Пусть в конечном положении кольцо находится в покое. Тогда жидкость будет двигаться в нем со скоростью $V=2 \Omega R \sin \vartheta$. На полюсе $\vartheta=90^{\circ}$, $V=2 \Omega R$. Этот результат легко получить также, относя все движения к «неподвижной» системе отсчета. На экваторе $V=0$.
2. Металлический шар радиуса $a$ из немагнитного материала движется равномерно в постоянном и однородном магнитном поле $\mathbf{B}$ со скоростью $\mathbf{v}$, направленной под углом к магнитному полю. Найти напряженность электрического поля внутри и вне шара в «неподвижной» системе отсчета, относительно которой шар движется со скоростью v. Найти также объемную и поверхностную плотность индуцированных зарядов. Магнитным полем движущихся индуцированных зарядов пренебречь.

Решение. Так как в стационарном состоянии ток внутри шара должен отсутствовать, то электрическое поле $\mathbf{E}^{(i)}$ должно компенсироваться силой $(1 / c)[\mathbf{v B}]$. Это дает для электрического поля внутри шара
\[
\mathbf{E}^{(i)}=-\frac{1}{c}[\mathbf{v B}] .
\]

Объемных зарядов внутри шара не будет, так как $\operatorname{div} \mathbf{E}^{(i)}=0$. Касательная составляющая поля $\mathbf{E}^{(i)}$, а следовательно, и внешнего поля $\mathbf{E}^{(e)}$ на поверхности шара будет $E_{\vartheta}=-E^{(i)} \sin \vartheta$, где $\vartheta-$ угол между направлением вектора $\mathbf{E}^{(i)}$ и радиусом $\mathbf{r}$, проведенным из центра шара. Наружное поле $\mathbf{E}^{(e)}$ ищем как поле диполя $\mathbf{p}$, помещенного в центре шара:
\[
\mathbf{E}^{(e)}=\frac{3(\mathbf{p r})}{r^{5}} \mathbf{r}-\frac{\mathbf{p}}{r^{3}} .
\]

Вектор р легко найти по значению касательной составляющей $E_{\vartheta}$. Таким путем получаем
\[
\mathbf{E}^{(e)}=\frac{3 a^{3}}{c r^{5}}([\mathbf{v B}] \mathbf{r}) \mathbf{r}-\frac{a^{3}}{c r^{3}}[\mathbf{v B}] .
\]

Поверхностная плотность зарядов $\sigma$ определится по скачку нормальных составляющих электрического поля. Она равна
\[
\sigma=\frac{3}{4 \pi c}([\mathbf{v B}] \mathbf{n}),
\]

где $\mathbf{n}$ – единичный вектор внешней нормали к поверхности шара.
3. Как с помощью флюксметра можно измерить магнитное поле внутри длинного соленоида, закрытого с обоих торцов крышками из немагнитного материала, не вводя флюксметр внутрь соленоида? Обмотка соленоида доходит до самых концов цилиндра, на который она намотана.
Ответ. Надо с помощью флюксметра, размеры которого малы по сравнению с радиусом цилиндра, измерить магнитное поле в центре одного из оснований цилиндра. Поле внутри соленоида будет в два раза больше.
4. На цилиндрический железный сердечник, через который проходит однородный магнитный поток $\Phi=$ $=\Phi_{0} \cos \omega t$, надет тор из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ (рис. 163). В торе имеется
Рис. 163 бесконечно узкий воздушный зазор, сделанный двумя бесконечно близкими разрезами вдоль меридиональных плоскостей. Найти напряженность электрического поля $E$ в зазоре в зависимости от расстояния $r$ до оси цилиндра.
Ответ. $E=\frac{\varepsilon \omega}{2 \pi c r} \Phi_{0} \sin \omega t$.