1. В механике строго научная система единиц (СГС), в которой за основные величины приняты длина, масса и время, была разработана на основе законов Ньютона. В худшем положении оказалась электродинамика, основные принципы которой (уравнения Максвелла) были установлены и получили признание только в конце XIX века. До этого времени уже получили широкое распространение случайно выбранные практические единицы: вольт, ампер, ом и их производные, никак не связанные с системой единиц в механике. Естественно было ввести единую систему единиц для механических и электромагнитных величин. Здесь физика и электротехника пошли разными путями. Физика не вводила новых основных величин, а рассматривала электрические и магнитные величины как производные механических. Построенные по такому принципу системы единиц называются абсолютными. К таким системам относится и гауссова система $С Г С$, которая в настоящем курсе принята за основную. Электротехника, сохранив механические величины, не захотела жертвовать и практическими электрическими единицами: вольтом, ампером, омом и пр. Последнее условие – довольно жесткое. Удовлетворить ему оказалось возможным только ценой существенного ухудшения системы единиц. Это относится и к так называемой Международной системе единии (сокращенно СИ), разработанной за последнее время и рекомендованной в качестве основной. Ниже изложены основы построения системы СИ, а затем отмечены ее принципиальные недостатки.

В СИ изменен масштаб основных механических величин: вместо сантиметра введен метр, вместо грамма – килограмм. Особой выгоды в этом нет, так как все равно невозможно удовлетворить требованию, чтобы величина единицы была всегда одинаково удобна. Одна и та же единица в одних случаях будет слишком велика, в других слишком мала. Этот вопрос удовлетворительно решается введением приставок «микро», «милли», «мега» и т. д., а также степеней 10. Но, разумеется, изменение масштабов основных величин принципиально ничего не меняет и в этом смысле никаких возражений не вызывает. Принципиальными являются два момента.

Во-первых, к трем основным механическим величинам – длине, времени и массе – в СИ добавлена в качестве независимой четвертая, чисто электрическая, величина, имеющая самостоятельную размерность. Такой величиной выбрана сила электрического тока, а ее единицей – ампер. Количество электричества есть величина производная с единицей ампер-секунда, называемой кулоном.

Во-вторых, уравнения Максвелла в СИ записываются в так называемой рационализированной форме, т. е. в форме, не содержащей никаких числовых множителей. В интегральной форме эти уравнения пишутся так:
\[
\begin{array}{c}
\oint(\mathbf{H} d \mathbf{l})=I+\int\left(\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} d \mathbf{S}\right), \\
\oint(\mathbf{E} d \mathbf{l})=-\int\left(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} d \mathbf{S}\right), \\
\oint(\mathbf{D} d \mathbf{S})=q, \\
\oint(\mathbf{B} d \mathbf{S})=0,
\end{array}
\]

а в дифференциальной так:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}, \\
\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\
\operatorname{div} \mathbf{D}=\rho, \\
\operatorname{div} \mathbf{B}=0
\end{array}
\]

Идея «рационализации» уравнений Максвелла принадлежит Хевисайду (1850-1925). Хевисайд исходил из того, что уравнения Максвелла – это фундаменталъные уравнения, а потому целесообразно освободить их от численных множителей типа $4 \pi$. Для этого достаточно изменить величины единиц электрического заряда, а также напряженностей электрического и магнитного полей. Практической выгоды от такой рационализации нет. Исчезая из одних формул, численные коэффициенты появляются в других, так что общее число коэффициентов практически остается неизменным. Идея Хевисайда была поддержана Лоренцем. В системе Хевисайда-Лорениа уравнения Максвелла выглядят так же, как и в гауссовой системе, с тем единственным отличием, что безразмерный множитель $4 \pi$ в них всюду заменен другим безразмерным множителем – единицей. Поэтому никакими принципиальными преимуществами перед гауссовой системой система ХевисайдаЛоренца не обладает. Обе системы одинаково хороши. «Рационализация» в СИ идет дальше: опускается не только безразмерный коэффициент $4 \pi$, но и размерная величина – скорость света в вакууме $c$.
2. Уравнениями (85.1)-(85.4) в СИ уже предопределены размерность и единицы векторов D и $\mathbf{H}$, а именно:
\[
[D]=\mathrm{K} / \mathrm{m}^{2}=\mathrm{A} \cdot \mathrm{c} / \mathrm{m}^{2}, \quad[\mathbf{H}]=\mathrm{A} / \mathrm{m} .
\]

Связь с механикой устанавливается посредством силовых векторов $\mathbf{E}$ и В. Последние определяются соотношениями
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{F}_{e}=q \mathbf{E}, \\
\mathbf{F}_{m}=q[\mathbf{v B}],
\end{array}
\]

где $\mathbf{F}_{e}$ и $\mathbf{F}_{m}$ – силы, действующие на заряд $q$ в электрическом и магнитном полях. Отсюда получаем
\[
[\mathbf{E}]=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{K}}=\frac{\mathrm{K} \cdot \mathrm{M}}{\mathrm{A} \cdot \mathrm{c}^{3}}=\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{M}}, \quad[\mathbf{B}]=\frac{\mathrm{H} \cdot \mathrm{c}}{\mathrm{Kл \cdot \textrm {M }}}=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{A} \cdot \mathrm{M}}=\frac{\mathrm{K \Gamma}}{\mathrm{A} \cdot \mathrm{c}^{2}}=\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{M}^{2}} .
\]

Единица индукции $\mathbf{B}$ называется тесла. Единицы $\mathbf{E}, \mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ не получили специальных названий. В соответствии с размерностью их называют вольт на метр, кулон на квадратный метр и ампер на метр. Размерности всех четырех векторов $\mathbf{E}, \mathbf{D}, \mathbf{B}, \mathbf{H}$ разные. Даже в вакууме векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ с одной стороны, В и $\mathbf{H}$, с другой, в СИ – величины разные. В вакууме они связаны соотношениями
\[
\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}, \quad \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{H} .
\]

Величины $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$ называются электрической и магнитной постолнными.

Из уравнения (85.3) следует, что в СИ электрическое поле точечного заряда $q$ в вакууме определяется формулой
\[
D=\frac{q}{4 \pi r^{2}} \text { или } E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} .
\]

Поэтому закон Кулона в вакууме должен писаться так:
\[
F=\frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} .
\]

Аналогично, теорема о циркуляции (85.1) для прямого тока в вакууме дает
\[
H=\frac{I}{2 \pi r}, \quad B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} .
\]

Следовательно, для силы взаимодействия двух тонких параллельных проводов, по которым текут токи $I_{1}$ и $I_{2}$, получаем
\[
F=\mu_{0} \frac{I_{1} I_{2}}{2 \pi r} l,
\]

где $l$ – длина участка одного из проводов, к которому приложена сила $\mathbf{F}$.

Формулы (85.8) и (85.9) позволяют определить постоянные $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$. Действительно, пусть $q_{1}=q_{2}=1$ Кл, $r=1$ м. Тогда по формуле (85.8) находим $F=1 /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)$ ньютонов. Вычислим ту же силу по закону Кулона $F=q_{1} q_{2} / r^{2}$ в гауссовой системе единиц. В этом случае $r=100$ см, а по определению кулона $q_{1}=q_{2}=10 c$ СГСЭ-ед., где $c \approx 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}-$ скорость света в вакууме в м $/$. Таким образом, $F=c^{2} \cdot 10^{-2}$ дин $=$ $=c^{2} \cdot 10^{-7} \mathrm{H}$. Путем сравнения с предыдущим результатом находим
\[
\varepsilon_{0}=\frac{10^{7}}{4 \pi c^{2}} \approx 8,854 \cdot 10^{-12} \quad \Phi / \mathrm{M} .
\]

Аналогично поступаем для определения магнитной постоянной $\mu_{0}$. В формуле (85.9) полагаем $I_{1}=I_{2}=1 \mathrm{~A}, l=r=1$ м. Тогда $F=\mu_{0} /(2 \pi)$ Н. Воспользуемся теперь для вычисления той же силы формулой в гауссовой системе единиц $F=2 I_{1} I_{2} l / r(100 c)^{2}$. (В знаменателе мы написали $100 c$, а не $c$, так как предполагаем, что скорость $c$ измеряется в м $/$ с, а не в см $/$ с, как должно делаться в гауссовой системе.) Полагая в этой формуле $l=r=100 \mathrm{cм}, I_{1}=I_{2}=10 c$ СГСЭ-ед., получим $F=2 \cdot 10^{-2}$ дин $=2 \cdot 10^{-7} \mathrm{H}$. Сравнивая полученный результат с предыдущим, находим
\[
\mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \approx 1,256 \cdot 10^{-6} \Gamma / \mathrm{M}
\]

Сами постоянные $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$ никакого реального физического смысла не имеют, а являются только размерными коэффициентами, искусственно введенными для перевода значений по существу одних и тех же величин (E и D, B и $\mathbf{H}$ в вакууме) из одних единиц в другие. Однако эти коэффициенты связаны соотношением
\[
\varepsilon_{0} \mu_{0}=\frac{1}{c^{2}},
\]

где скорость света должна измеряться в м/с. Только комбинация $\varepsilon_{0} \mu_{0}$ имеет реальный физический смысл.
3. Материальные уравнения в средах в СИ записываются в виде
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}, \\
\mathbf{B}=\mu_{0} \mu \mathbf{H}, \\
\mathbf{j}=\lambda \mathbf{E} .
\end{array}
\]

Диэлектрическая и магнитная проницаемости $\varepsilon$ и $\mu$ безразмерные и равны соответствующим величинам в гауссовой системе. В системе СИ их называют относительными, а произведения $\varepsilon_{0} \varepsilon$ и $\mu_{0} \mu-$ абсолютными проницаемостями среды. Электрическая проводимость $\lambda$ имеет размерность
\[
[\lambda]=\left[\frac{I}{E S}\right]=\left[\frac{I}{\varphi l}\right]=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B} \cdot \mathrm{M}}=\frac{1}{\mathrm{OM}_{\mathrm{M}} \mathrm{M}} .
\]

Плотность энергии в СИ
\[
w=\frac{1}{2}(\mathbf{E D}+\mathbf{H B}),
\]

вектор Пойнтинга
\[
\mathbf{S}=[\mathbf{E H}] .
\]

Электрический дипольный момент определяется прежним выражением $\mathbf{p}=q \mathbf{l}$ и измеряется в кулон-метрах.

По-прежнему определяется и вектор поляризации $\mathbf{P}$, как дипольный момент единицы объема среды. Как и вектор $\mathbf{D}$, он имеет размерность заряда, деленного на площадь. Поэтому вектор $\mathbf{D}$ определяется выражением
\[
\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P} .
\]

Множитель $\varepsilon_{0}$ введен сюда для уравнивания размерностей обоих слагаемых в правой части. Вектор $\mathbf{P}$ связан с $\mathbf{E}$ соотношением $\mathbf{P}=\varepsilon_{0} \alpha \mathbf{E}$, где $\alpha$ – безразмерная величина, называемая поляризуемостью среды. Она связана с $\varepsilon$ соотношением
\[
\varepsilon=1+\alpha \text {. }
\]

Отсюда видно, что поляризуемость $\alpha$ в СИ в $4 \pi$ раз больше ее значения в гауссовой системе.

Поляризуемость молекулы $\beta$ определяют формулой $\mathbf{p}=\varepsilon_{0} \beta \mathbf{E}$. Величина $\beta$ имеет размерность объема и связана с $\alpha$ соотношением $\alpha=N \beta$, где $N-$ число молекул в единице объема среды.

Магнитный момент $\mathfrak{M}$ витка с током определяется выражением $\mathfrak{M}=I \mathbf{S}$. Поэтому вектор намагничивания $\mathbf{I}$, или магнитный момент единицы объема магнетика, имеет ту же размерность, что и вектор $\mathbf{H}$. В соответствии с этим вектор $\mathbf{H}$ определяется выражением
\[
\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{I} .
\]

Магнитная восприимчивость $\varkappa$ безразмерна, причем по определению $\mathbf{I}=\varkappa \mathbf{H}$. Она связана с магнитной проницаемостью $\mu$ соотношением
\[
\mu=1+\varkappa .
\]

Значит, магнитная восприимчивость $\varkappa$ в СИ в $4 \pi$ раз больше, чем в гауссовой системе.
4. Можно указать однообразный систематический прием для перевода электродинамических формул из гауссовой системы в СИ и обратно. Для этого каждой физической величине в гауссовой системе сопоставляется определенный «переводной» коэффициент. После замены каждой величины такой же величиной, умноженной на соответствующий переводной коэффициент, уравнения гауссовой системы переходят в уравнения СИ. Задача нахождения таких коэффициентов не однозначна. Действительно, если найден какой-либо один набор коэффициентов, то после умножения их на одну и ту же величину получится другой набор, также пригодный для выполнения требуемого преобразования. Так как уравнения механики в обеих системах единиц записываются одинаково, то нет надобности вводить переводные коэффициенты для чисто механических величин. Коэффициенты нужны только для электрических и магнитных величин. Умножение любой величины на произвольную механическую величину оставляет переводной коэффициент без изменения. Так, электрическому полю $\mathbf{E}$ и потенциалу $\varphi$ сопоставляется один и тот же переводной коэффициент, так как в силу соотношения $\mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi$ поле $\mathbf{E}$ получается из потенциала путем деления на механическую величину – длину. Одинаковые коэффициенты будут иметь заряд $q$, его плотность $\rho$, ток $I$, его плотность $\mathbf{j}$, поляризация $\mathbf{P}$ и т. д. Скорость света $c$ в СИ явно не входит. Она заменяется на $1 / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}$. Относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, как величины, одинаковые в обеих системах, не преобразуются.

После этих разъяснений перейдем к нахождению системы переводных коэффициентов $e, d, \ldots$, сопоставляемых величинам $\mathbf{E}, \mathbf{D}, \ldots$ согласно следующей схеме:

Для решения задачи можно было бы воспользоваться системой уравнений Максвелла. Однако проще исходить из выражений для плотности энергии, ее потока и силы:
\[
w_{e}=\frac{1}{8 \pi}(\mathbf{E D}), \quad w_{m}=\frac{1}{8 \pi}(\mathbf{H B}), \quad \mathbf{S}=\frac{c}{4 \pi}[\mathbf{E H}], \quad \mathbf{F}=q \mathbf{E} .
\]

Преимущество такого подхода состоит в том, что в написанных соотношениях слева стоят чисто механические величины, которые не должны преобразовываться. После умножения на переводные коэффициенты эти соотношения переходят в
\[
w_{e}=\frac{e d}{8 \pi}(\mathbf{E D}), \quad w_{m}=\frac{h b}{8 \pi}(\mathbf{H B}), \quad \mathbf{S}=\frac{e h}{4 \pi \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}}[\mathbf{E H}], \quad \mathbf{F}=e i q \mathbf{E} .
\]

Переводные коэффициенты надо подобрать так, чтобы эти соотношения переходили в
\[
w_{e}=\frac{1}{2}(\mathbf{E D}), \quad w_{m}=\frac{1}{2}(\mathbf{H B}), \quad \mathbf{S}=[\mathbf{E H}], \quad \mathbf{F}=q \mathbf{E} .
\]

Для этого должно быть
\[
\frac{e d}{4 \pi}=\frac{h b}{4 \pi}=\frac{e h}{4 \pi \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}}=i e=1 .
\]

Так как один из этих коэффициентов можно выбрать произвольно, то мы наложим дополнительное «условие симметрии» $e / \sqrt{\varepsilon_{0}}=h / \sqrt{\mu_{0}}$.

После этого найдем
\[
e=\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0}}, \quad h=\sqrt{4 \pi \mu_{0}}, \quad d=\sqrt{\frac{4 \pi}{\varepsilon_{0}}}, \quad b=\sqrt{\frac{4 \pi}{\mu_{0}}}, \quad i=\frac{1}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0}}} .
\]

Легко проверить, что все фундаментальные уравнения Максвелла с помощью найденных коэффициентов преобразуются правильно. Возьмем, например, уравнение (82.1a). После умножения его на переводные коэффициенты получим
\[
\sqrt{4 \pi \mu_{0}} \operatorname{rot} \mathbf{H}=4 \pi \frac{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0}}} \mathbf{j}+\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}} \sqrt{\frac{4 \pi}{\varepsilon_{0}}} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},
\]

а после сокращения
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},
\]

а это есть уравнение Максвелла (85.1a) в системе СИ.
Пользуясь найденными коэффициентами, легко найти переводные коэффициенты и для остальных физических величин. Некоторые из них приведены в табл. 1. Коэффициенты обратного преобразования от системы СИ к гауссовой равны обратным значениям коэффициентов, служащих для прямого преобразования. Пусть, например, соотношение
Таблица 1. Таблица перевода выражений и формул из гауссовой системы в систему СИ и обратно системы СИ $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}$ требуется перевести в гауссову систему. Произведя соответствующую замену, получим
\[
\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{4 \pi}} \mathbf{D}=\varepsilon_{0} \frac{1}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0}}} \mathbf{E}+\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0}} \mathbf{P},
\]

или после сокращения $\mathbf{D}=\mathbf{E}+4 \pi \mathbf{P}$.
5. Приведем еще табл. 2 для перевода численных значений физических величин из СИ в гауссову систему и обратно. Множители 3 (кроме входящих в показатели степени) при точных расчетах следует заменить на 2,99792458 в соответствии с точным значением скорости света. Например, в строке «электрическая индукция» вместо $12 \pi \cdot 10^{5}$ при точных расчетах следует брать значение $2,997924582 \cdot 4 \pi \cdot 10^{5}$. В тех случаях, когда для гауссовых единиц существует общепринятое наименование, оно приведено в таблице. В остальных случаях приведено только число таких единиц.

Таблица 2. Таблица перевода численных значений физических величин из системы СИ в гауссову систему

Продолюение табл. 2
6. Постоянство СИ – чисто инженерное. При расчетах по формулам этой системы окончательные численные результаты сразу получаются в практических единицах – вольтах, амперах, омах, джоулях и пр. Недостатки СИ более существенны и носят принципиалъный характер. Для описания электромагнитного поля СИ вводит четыре вектора $\mathbf{E}, \mathbf{D}, \mathbf{B}, \mathbf{H}$ не только 6 материалъных средах, но и в вакууме. По существу СИ не отличается от электротехнической системы, предложенной Джорджи в начале двадцатого столетия. В то время уравнения Максвелла были мало распространены, в особенности в электротехнике, а их физическое толкование еще не установилось. Преобладали механические воззрения на природу электромагнитного поля. Считалось, что вакуум (по тогдашней терминологии «эфир»), как среда, в которой возбуждается электромагнитное поле, принципиально не отличается от остальных материальных сред.

Система Джорджи возникла под сильным влиянием этих старых воззрений. Согласно последним, векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}, \mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ в вакууме отличаются друг от друга не только численным множителем, но и по существу. Они находятся примерно в том же отношении, как растягивающее усилие и смещение в теории упругости.

Но физика уже давно отказалась от того принципиального различия между $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}, \mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$, которое возникло на почве механической теории эфира. Она установила, что электромагнитное поле в вакууме описано полностью, если задан один электрический вектор $\mathbf{E} u$ один магнитный вектор $\mathbf{B}$. Совпадение численных значений $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, а также B и $\mathbf{H}$ в вакууме является для физика не результатом произвольного соглашения, а выраэсением действительного тождества этих величин.

Напротив, введение размерных множителей $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$ в СИ представляется ему искусственным приемом, с помощью которого формулы приводятся к виду, удобному для инженерных расчетов в электротехнике. Дух отживших физических представлений витает и над СИ. В частности, он повлиял на терминологию: первоначально величины $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$ назывались диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума. Только полная бессодержательность таких понятий заставила отказаться от этих терминов и заменить их нейтральными терминами «электрическая» и «магнитная» постоянные.

От этого, конечно, величины $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$ не сделались содержательными. Эти ненужные величины в СИ засоряют физику и загромождают формулы.

До появления теории относительности ко всякой физически рациональной системе единиц необходимо было предъявлять требование, чтобы в ней векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, а также $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ имели одинаковую размерность. Размерности электрического и магнитного полей могли и не совпадать. Теория относительности усилила это требование. Она показала, что деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное относительно, т.е. зависит от выбора системы отсчета. Оказалось, что векторы $\mathbf{E}$ и В объединяются в один антисимметричный тензор второго ранга, а векторы $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ – в другой. Естественно, что компоненты одного и того же тензора должны иметь одинаковые размерности. После этого стало почти абсолютной необходимостью, чтобы имели одинаковую размерность все четыре вектора $\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$. Этому требованию СИ не удовлетворяет. В ней надо вводить размерные множители для уравнивания размерностей компонент обоих тензоров. Напротив, гауссова система СГС ему удовлетворяет, хотя она и была создана задолго до теории относительности. В этом отношении СИ не более логична, чем, скажем, система, в которой длина измеряется в метрах, ширина – в парсеках, а высота – в световых годах.

Из всех предложенных систем единиц гауссова система СГС до настоящего времени остается наилучшей в физике. Для физика значительно легче выполнить все вычисления в гауссовой системе и лишь в конце, если это требуется, сделать пересчет к практическим единицам, чем все время быть обремененным грузом искусственно введенных ненужных величин и понятий ( $\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}$, абсолютная и относительные проницаемости, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}, \mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ в вакууме и пр.), возникших на почве СИ.

Однако приходится считаться с широким распространением, которое получила СИ.