1. В механике строго научная система единиц (СГС), в которой за основные величины приняты длина, масса и время, была разработана на основе законов Ньютона. В худшем положении оказалась электродинамика, основные принципы которой (уравнения Максвелла) были установлены и получили признание только в конце XIX века. До этого времени уже получили широкое распространение случайно выбранные практические единицы: вольт, ампер, ом и их производные, никак не связанные с системой единиц в механике. Естественно было ввести единую систему единиц для механических и электромагнитных величин. Здесь физика и электротехника пошли разными путями. Физика не вводила новых основных величин, а рассматривала электрические и магнитные величины как производные механических. Построенные по такому принципу системы единиц называются абсолютными. К таким системам относится и гауссова система $СГС$, которая в настоящем курсе принята за основную. Электротехника, сохранив механические величины, не захотела жертвовать и практическими электрическими единицами: вольтом, ампером, омом и пр. Последнее условие — довольно жесткое. Удовлетворить ему оказалось возможным только ценой существенного ухудшения системы единиц. Это относится и к так называемой Международной системе единии (сокращенно СИ), разработанной за последнее время и рекомендованной в качестве основной. Ниже изложены основы построения системы СИ, а затем отмечены ее принципиальные недостатки.

В СИ изменен масштаб основных механических величин: вместо сантиметра введен метр, вместо грамма — килограмм. Особой выгоды в этом нет, так как все равно невозможно удовлетворить требованию, чтобы величина единицы была всегда одинаково удобна. Одна и та же единица в одних случаях будет слишком велика, в других слишком мала. Этот вопрос удовлетворительно решается введением приставок «микро», «милли», «мега» и т. д., а также степеней 10. Но, разумеется, изменение масштабов основных величин принципиально ничего не меняет и в этом смысле никаких возражений не вызывает. Принципиальными являются два момента.

Во-первых, к трем основным механическим величинам — длине, времени и массе — в СИ добавлена в качестве независимой четвертая, чисто электрическая, величина, имеющая самостоятельную размерность. Такой величиной выбрана сила электрического тока, а ее единицей — ампер. Количество электричества есть величина производная с единицей ампер-секунда, называемой кулоном.

Во-вторых, уравнения Максвелла в СИ записываются в так называемой рационализированной форме, т. е. в форме, не содержащей никаких числовых множителей. В интегральной форме эти уравнения пишутся так:
$$\begin{array}{c}\oint (\mathbf{H}d\mathbf{l})=I+\int \left(\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}d\mathbf{S}\right),\\ \oint (\mathbf{E}d\mathbf{l})=-\int \left(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}d\mathbf{S}\right),\\ \oint (\mathbf{D}d\mathbf{S})=q,\\ \oint (\mathbf{B}d\mathbf{S})=0,\end{array}$$

а в дифференциальной так:
$$\begin{array}{c}\mathrm{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},\\ \mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\\ \mathrm{div}\mathbf{D}=\rho ,\\ \mathrm{div}\mathbf{B}=0\end{array}$$

Идея «рационализации» уравнений Максвелла принадлежит Хевисайду (1850-1925). Хевисайд исходил из того, что уравнения Максвелла — это фундаменталъные уравнения, а потому целесообразно освободить их от численных множителей типа $4\pi$. Для этого достаточно изменить величины единиц электрического заряда, а также напряженностей электрического и магнитного полей. Практической выгоды от такой рационализации нет. Исчезая из одних формул, численные коэффициенты появляются в других, так что общее число коэффициентов практически остается неизменным. Идея Хевисайда была поддержана Лоренцем. В системе Хевисайда-Лорениа уравнения Максвелла выглядят так же, как и в гауссовой системе, с тем единственным отличием, что безразмерный множитель $4\pi$ в них всюду заменен другим безразмерным множителем — единицей. Поэтому никакими принципиальными преимуществами перед гауссовой системой система ХевисайдаЛоренца не обладает. Обе системы одинаково хороши. «Рационализация» в СИ идет дальше: опускается не только безразмерный коэффициент $4\pi$, но и размерная величина — скорость света в вакууме $c$.
2. Уравнениями (85.1)-(85.4) в СИ уже предопределены размерность и единицы векторов D и $\mathbf{H}$, а именно:
$$[D]=\mathrm{K}/{\mathrm{m}}^2=\mathrm{A}\cdot \mathrm{c}/{\mathrm{m}}^2,[\mathbf{H}]=\mathrm{A}/\mathrm{m}.$$

Связь с механикой устанавливается посредством силовых векторов $\mathbf{E}$ и В. Последние определяются соотношениями
$$\begin{array}{c}{\mathbf{F}}_e=q\mathbf{E},\\ {\mathbf{F}}_m=q[\mathbf{v}\mathbf{B}],\end{array}$$

где ${\mathbf{F}}_e$ и ${\mathbf{F}}_m$ — силы, действующие на заряд $q$ в электрическом и магнитном полях. Отсюда получаем
$$[\mathbf{E}]=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{K}}=\frac{\mathrm{K}\cdot \mathrm{M}}{\mathrm{A}\cdot {\mathrm{c}}^3}=\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{M}},[\mathbf{B}]=\frac{\mathrm{H}\cdot \mathrm{c}}{\mathrm{K}\mathrm{л}\cdot \text{M }}=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{M}}=\frac{\mathrm{K}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{A}\cdot {\mathrm{c}}^2}=\frac{\mathrm{B}}{{\mathrm{M}}^2}.$$

Единица индукции $\mathbf{B}$ называется тесла. Единицы $\mathbf{E},\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ не получили специальных названий. В соответствии с размерностью их называют вольт на метр, кулон на квадратный метр и ампер на метр. Размерности всех четырех векторов $\mathbf{E},\mathbf{D},\mathbf{B},\mathbf{H}$ разные. Даже в вакууме векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ с одной стороны, В и $\mathbf{H}$, с другой, в СИ — величины разные. В вакууме они связаны соотношениями
$$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E},\mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{H}.$$

Величины ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$ называются электрической и магнитной постолнными.

Из уравнения (85.3) следует, что в СИ электрическое поле точечного заряда $q$ в вакууме определяется формулой
$$D=\frac{q}{4\pi r^2}\text{ или }E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}.$$

Поэтому закон Кулона в вакууме должен писаться так:
$$F=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}.$$

Аналогично, теорема о циркуляции (85.1) для прямого тока в вакууме дает
$$H=\frac{I}{2\pi r},B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

Следовательно, для силы взаимодействия двух тонких параллельных проводов, по которым текут токи $I_1$ и $I_2$, получаем
$$F={\mu }_0\frac{I_1{I}_2}{2\pi r}l,$$

где $l$ — длина участка одного из проводов, к которому приложена сила $\mathbf{F}$.

Формулы (85.8) и (85.9) позволяют определить постоянные ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$. Действительно, пусть $q_1=q_2=1$ Кл, $r=1$ м. Тогда по формуле (85.8) находим $F=1/\left(4\pi {\epsilon }_0\right)$ ньютонов. Вычислим ту же силу по закону Кулона $F=q_1{q}_2/r^2$ в гауссовой системе единиц. В этом случае $r=100$ см, а по определению кулона $q_1=q_2=10c$ СГСЭ-ед., где $c\approx {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{c}-$ скорость света в вакууме в м $/$. Таким образом, $F=c^2\cdot {10}^{-2}$ дин $=$ $=c^2\cdot {10}^{-7}\mathrm{H}$. Путем сравнения с предыдущим результатом находим
$${\epsilon }_0=\frac{{10}^7}{4\pi c^2}\approx 8,854\cdot {10}^{-12}\mathrm{\Phi }/\mathrm{M}.$$

Аналогично поступаем для определения магнитной постоянной ${\mu }_0$. В формуле (85.9) полагаем $I_1=I_2=1\mathrm{A},l=r=1$ м. Тогда $F={\mu }_0/(2\pi )$ Н. Воспользуемся теперь для вычисления той же силы формулой в гауссовой системе единиц $F=2I_1{I}_{2}l/r(100c{)}^2$. (В знаменателе мы написали $100c$, а не $c$, так как предполагаем, что скорость $c$ измеряется в м $/$ с, а не в см $/$ с, как должно делаться в гауссовой системе.) Полагая в этой формуле $l=r=100\mathrm{c}\mathrm{м},I_1=I_2=10c$ СГСЭ-ед., получим $F=2\cdot {10}^{-2}$ дин $=2\cdot {10}^{-7}\mathrm{H}$. Сравнивая полученный результат с предыдущим, находим
$${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\approx 1,256\cdot {10}^{-6}\mathrm{\Gamma }/\mathrm{M}$$

Сами постоянные ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$ никакого реального физического смысла не имеют, а являются только размерными коэффициентами, искусственно введенными для перевода значений по существу одних и тех же величин (E и D, B и $\mathbf{H}$ в вакууме) из одних единиц в другие. Однако эти коэффициенты связаны соотношением
$${\epsilon }_0{\mu }_0=\frac{1}{c^2},$$

где скорость света должна измеряться в м/с. Только комбинация ${\epsilon }_0{\mu }_0$ имеет реальный физический смысл.
3. Материальные уравнения в средах в СИ записываются в виде
$$\begin{array}{c}\mathbf{D}={\epsilon }_0\epsilon \mathbf{E},\\ \mathbf{B}={\mu }_0\mu \mathbf{H},\\ \mathbf{j}=\lambda \mathbf{E}.\end{array}$$

Диэлектрическая и магнитная проницаемости $\epsilon$ и $\mu$ безразмерные и равны соответствующим величинам в гауссовой системе. В системе СИ их называют относительными, а произведения ${\epsilon }_0\epsilon$ и ${\mu }_0\mu -$ абсолютными проницаемостями среды. Электрическая проводимость $\lambda$ имеет размерность
$$[\lambda ]=\left[\frac{I}{ES}\right]=\left[\frac{I}{\phi l}\right]=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}\cdot \mathrm{M}}=\frac{1}{{\mathrm{OM}}_{\mathrm{M}}\mathrm{M}}.$$

Плотность энергии в СИ
$$w=\frac{1}{2}(\mathbf{E}\mathbf{D}+\mathbf{H}\mathbf{B}),$$

вектор Пойнтинга
$$\mathbf{S}=[\mathbf{E}\mathbf{H}].$$

Электрический дипольный момент определяется прежним выражением $\mathbf{p}=q\mathbf{l}$ и измеряется в кулон-метрах.

По-прежнему определяется и вектор поляризации $\mathbf{P}$, как дипольный момент единицы объема среды. Как и вектор $\mathbf{D}$, он имеет размерность заряда, деленного на площадь. Поэтому вектор $\mathbf{D}$ определяется выражением
$$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}.$$

Множитель ${\epsilon }_0$ введен сюда для уравнивания размерностей обоих слагаемых в правой части. Вектор $\mathbf{P}$ связан с $\mathbf{E}$ соотношением $\mathbf{P}={\epsilon }_0\alpha \mathbf{E}$, где $\alpha$ — безразмерная величина, называемая поляризуемостью среды. Она связана с $\epsilon$ соотношением
$$\epsilon =1+\alpha \text{. }$$

Отсюда видно, что поляризуемость $\alpha$ в СИ в $4\pi$ раз больше ее значения в гауссовой системе.

Поляризуемость молекулы $\beta$ определяют формулой $\mathbf{p}={\epsilon }_0\beta \mathbf{E}$. Величина $\beta$ имеет размерность объема и связана с $\alpha$ соотношением $\alpha =N\beta$, где $N-$ число молекул в единице объема среды.

Магнитный момент $\mathfrak{M}$ витка с током определяется выражением $\mathfrak{M}=I\mathbf{S}$. Поэтому вектор намагничивания $\mathbf{I}$, или магнитный момент единицы объема магнетика, имеет ту же размерность, что и вектор $\mathbf{H}$. В соответствии с этим вектор $\mathbf{H}$ определяется выражением
$$\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{{\mu }_0}-\mathbf{I}.$$

Магнитная восприимчивость $\varkappa$ безразмерна, причем по определению $\mathbf{I}=\varkappa \mathbf{H}$. Она связана с магнитной проницаемостью $\mu$ соотношением
$$\mu =1+\varkappa .$$

Значит, магнитная восприимчивость $\varkappa$ в СИ в $4\pi$ раз больше, чем в гауссовой системе.
4. Можно указать однообразный систематический прием для перевода электродинамических формул из гауссовой системы в СИ и обратно. Для этого каждой физической величине в гауссовой системе сопоставляется определенный «переводной» коэффициент. После замены каждой величины такой же величиной, умноженной на соответствующий переводной коэффициент, уравнения гауссовой системы переходят в уравнения СИ. Задача нахождения таких коэффициентов не однозначна. Действительно, если найден какой-либо один набор коэффициентов, то после умножения их на одну и ту же величину получится другой набор, также пригодный для выполнения требуемого преобразования. Так как уравнения механики в обеих системах единиц записываются одинаково, то нет надобности вводить переводные коэффициенты для чисто механических величин. Коэффициенты нужны только для электрических и магнитных величин. Умножение любой величины на произвольную механическую величину оставляет переводной коэффициент без изменения. Так, электрическому полю $\mathbf{E}$ и потенциалу $\phi$ сопоставляется один и тот же переводной коэффициент, так как в силу соотношения $\mathbf{E}=-\mathrm{grad}\phi$ поле $\mathbf{E}$ получается из потенциала путем деления на механическую величину — длину. Одинаковые коэффициенты будут иметь заряд $q$, его плотность $\rho$, ток $I$, его плотность $\mathbf{j}$, поляризация $\mathbf{P}$ и т. д. Скорость света $c$ в СИ явно не входит. Она заменяется на $1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$. Относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, как величины, одинаковые в обеих системах, не преобразуются.

После этих разъяснений перейдем к нахождению системы переводных коэффициентов $e,d,\dots$, сопоставляемых величинам $\mathbf{E},\mathbf{D},\dots$ согласно следующей схеме:

Для решения задачи можно было бы воспользоваться системой уравнений Максвелла. Однако проще исходить из выражений для плотности энергии, ее потока и силы:
$$w_e=\frac{1}{8\pi }(\mathbf{E}\mathbf{D}),w_m=\frac{1}{8\pi }(\mathbf{H}\mathbf{B}),\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi }[\mathbf{E}\mathbf{H}],\mathbf{F}=q\mathbf{E}.$$

Преимущество такого подхода состоит в том, что в написанных соотношениях слева стоят чисто механические величины, которые не должны преобразовываться. После умножения на переводные коэффициенты эти соотношения переходят в
$$w_e=\frac{ed}{8\pi }(\mathbf{E}\mathbf{D}),w_m=\frac{hb}{8\pi }(\mathbf{H}\mathbf{B}),\mathbf{S}=\frac{eh}{4\pi \sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}[\mathbf{E}\mathbf{H}],\mathbf{F}=eiq\mathbf{E}.$$

Переводные коэффициенты надо подобрать так, чтобы эти соотношения переходили в
$$w_e=\frac{1}{2}(\mathbf{E}\mathbf{D}),w_m=\frac{1}{2}(\mathbf{H}\mathbf{B}),\mathbf{S}=[\mathbf{E}\mathbf{H}],\mathbf{F}=q\mathbf{E}.$$

Для этого должно быть
$$\frac{ed}{4\pi }=\frac{hb}{4\pi }=\frac{eh}{4\pi \sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}=ie=1.$$

Так как один из этих коэффициентов можно выбрать произвольно, то мы наложим дополнительное «условие симметрии» $e/\sqrt{{\epsilon }_0}=h/\sqrt{{\mu }_0}$.

После этого найдем
$$e=\sqrt{4\pi {\epsilon }_0},h=\sqrt{4\pi {\mu }_0},d=\sqrt{\frac{4\pi }{{\epsilon }_0}},b=\sqrt{\frac{4\pi }{{\mu }_0}},i=\frac{1}{\sqrt{4\pi {\epsilon }_0}}.$$

Легко проверить, что все фундаментальные уравнения Максвелла с помощью найденных коэффициентов преобразуются правильно. Возьмем, например, уравнение (82.1a). После умножения его на переводные коэффициенты получим
$$\sqrt{4\pi {\mu }_0}\mathrm{rot}\mathbf{H}=4\pi \frac{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}{\sqrt{4\pi {\epsilon }_0}}\mathbf{j}+\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}\sqrt{\frac{4\pi }{{\epsilon }_0}}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$$

а после сокращения
$$\mathrm{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$$

а это есть уравнение Максвелла (85.1a) в системе СИ.
Пользуясь найденными коэффициентами, легко найти переводные коэффициенты и для остальных физических величин. Некоторые из них приведены в табл. 1. Коэффициенты обратного преобразования от системы СИ к гауссовой равны обратным значениям коэффициентов, служащих для прямого преобразования. Пусть, например, соотношение
Таблица 1. Таблица перевода выражений и формул из гауссовой системы в систему СИ и обратно системы СИ $\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$ требуется перевести в гауссову систему. Произведя соответствующую замену, получим
$$\sqrt{\frac{{\epsilon }_0}{4\pi }}\mathbf{D}={\epsilon }_0\frac{1}{\sqrt{4\pi {\epsilon }_0}}\mathbf{E}+\sqrt{4\pi {\epsilon }_0}\mathbf{P},$$

или после сокращения $\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}$.
5. Приведем еще табл. 2 для перевода численных значений физических величин из СИ в гауссову систему и обратно. Множители 3 (кроме входящих в показатели степени) при точных расчетах следует заменить на 2,99792458 в соответствии с точным значением скорости света. Например, в строке «электрическая индукция» вместо $12\pi \cdot {10}^5$ при точных расчетах следует брать значение $2,997924582\cdot 4\pi \cdot {10}^5$. В тех случаях, когда для гауссовых единиц существует общепринятое наименование, оно приведено в таблице. В остальных случаях приведено только число таких единиц.

Таблица 2. Таблица перевода численных значений физических величин из системы СИ в гауссову систему

Продолюение табл. 2
6. Постоянство СИ — чисто инженерное. При расчетах по формулам этой системы окончательные численные результаты сразу получаются в практических единицах — вольтах, амперах, омах, джоулях и пр. Недостатки СИ более существенны и носят принципиалъный характер. Для описания электромагнитного поля СИ вводит четыре вектора $\mathbf{E},\mathbf{D},\mathbf{B},\mathbf{H}$ не только 6 материалъных средах, но и в вакууме. По существу СИ не отличается от электротехнической системы, предложенной Джорджи в начале двадцатого столетия. В то время уравнения Максвелла были мало распространены, в особенности в электротехнике, а их физическое толкование еще не установилось. Преобладали механические воззрения на природу электромагнитного поля. Считалось, что вакуум (по тогдашней терминологии «эфир»), как среда, в которой возбуждается электромагнитное поле, принципиально не отличается от остальных материальных сред.

Система Джорджи возникла под сильным влиянием этих старых воззрений. Согласно последним, векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D},\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ в вакууме отличаются друг от друга не только численным множителем, но и по существу. Они находятся примерно в том же отношении, как растягивающее усилие и смещение в теории упругости.

Но физика уже давно отказалась от того принципиального различия между $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D},\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$, которое возникло на почве механической теории эфира. Она установила, что электромагнитное поле в вакууме описано полностью, если задан один электрический вектор $\mathbf{E}u$ один магнитный вектор $\mathbf{B}$. Совпадение численных значений $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, а также B и $\mathbf{H}$ в вакууме является для физика не результатом произвольного соглашения, а выраэсением действительного тождества этих величин.

Напротив, введение размерных множителей ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$ в СИ представляется ему искусственным приемом, с помощью которого формулы приводятся к виду, удобному для инженерных расчетов в электротехнике. Дух отживших физических представлений витает и над СИ. В частности, он повлиял на терминологию: первоначально величины ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$ назывались диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума. Только полная бессодержательность таких понятий заставила отказаться от этих терминов и заменить их нейтральными терминами «электрическая» и «магнитная» постоянные.

От этого, конечно, величины ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$ не сделались содержательными. Эти ненужные величины в СИ засоряют физику и загромождают формулы.

До появления теории относительности ко всякой физически рациональной системе единиц необходимо было предъявлять требование, чтобы в ней векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, а также $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ имели одинаковую размерность. Размерности электрического и магнитного полей могли и не совпадать. Теория относительности усилила это требование. Она показала, что деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное относительно, т.е. зависит от выбора системы отсчета. Оказалось, что векторы $\mathbf{E}$ и В объединяются в один антисимметричный тензор второго ранга, а векторы $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ — в другой. Естественно, что компоненты одного и того же тензора должны иметь одинаковые размерности. После этого стало почти абсолютной необходимостью, чтобы имели одинаковую размерность все четыре вектора $\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$. Этому требованию СИ не удовлетворяет. В ней надо вводить размерные множители для уравнивания размерностей компонент обоих тензоров. Напротив, гауссова система СГС ему удовлетворяет, хотя она и была создана задолго до теории относительности. В этом отношении СИ не более логична, чем, скажем, система, в которой длина измеряется в метрах, ширина — в парсеках, а высота — в световых годах.

Из всех предложенных систем единиц гауссова система СГС до настоящего времени остается наилучшей в физике. Для физика значительно легче выполнить все вычисления в гауссовой системе и лишь в конце, если это требуется, сделать пересчет к практическим единицам, чем все время быть обремененным грузом искусственно введенных ненужных величин и понятий ( ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$, абсолютная и относительные проницаемости, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D},\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ в вакууме и пр.), возникших на почве СИ.

Однако приходится считаться с широким распространением, которое получила СИ.