1. Для потенциальных полей можно ввести понятие потенциала или, точнее, разности потенциалов. Разностъю потенцилов $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ между точками 1 и 2 называется работа, совершаемая силами поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Такое определение имеет смысл потому, что для потенциальных полей эта работа не зависит от формы пути, а определяется только положениями начальной и конечной точек его. Потенциалу какой-либо произвольной точки поля $O$ можно условно приписать любое значение $\varphi_{0}$. Тогда потенциалы всех прочих точек поля определятся однозначно. Если изменить значение $\varphi_{0}$, то потенциалы в точке $O$ и во всех других точках изменятся на одну и ту же постоянную. Таким образом, потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как физические явления зависят только от напряженностей электрических полей. Электрические же поля связаны не с абсолютными значениями потенциалов, а с их разностями между различными точками пространства. От значения аддитивной постоянной эти поля не зависят. В теоретической физике за нулевой потенциал удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точки пространства. На практике за нулевой потенциал обычно принимают потенциал Земли.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда $q$ по произвольному пути из начальной точки 1 в конечную точку 2 определяется выражением
\[
A_{12}=q\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

В гауссовой и СГСЭ-системах единиц за единицу потенциала принимается разность потенциалов между такими двумя точками, что при перемещении электростатической единицы электричества из одной точки в другую электрическое поле совершает работу в один эрг. Эта единица не получила специального названия. Практической единицей потенциала является вольт. Вольт есть разность потенциалов между такими точками, когда при перемещении одного кулона электричества из одной точки в другую электрическое поле совершает работу в один джоуль. Приближенно
\[
1 \mathrm{~B}=\frac{1 \text { Дж }}{1 \text { Кл }}=\frac{10^{7} \text { эрг }}{3 \cdot 10^{9} \text { СГСЭ-ед. заряда }}=\frac{1}{300} \text { СГСЭ-ед. потенциала. }
\]
2. Найдем связь потенциала с напряженностью электрического поля. Пусть 1 и 2 – бесконечно близкие точки, расположенные на оси $x$, так что $x_{2}-x_{1}=d x$. Работа при перемещении единицы заряда из точки 1 в точку 2 будет $E_{x} d x$. Та же работа равна $\varphi_{1}-\varphi_{2}=-d \varphi$. Приравнивая оба выражения, получим $d \varphi=-E_{x} d x$. Аналогичное рассуждение применимо для осей $y$ и $z$. В результате получаются три соотношения:
\[
E_{x}=-\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad E_{y}=-\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad E_{z}=-\frac{\partial \varphi}{\partial z} .
\]

Их можно объединить в одну векторную формулу:
\[
\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{k}\right) .
\]

Так как $\mathbf{E}$ есть вектор, то и выражение, стоящее в скобках, есть также вектор. Он называется градиентом скаляра $\varphi$ и обозначается $\operatorname{grad} \varphi$, или $
abla \varphi$. Его можно рассматривать как произведение символического вектора или оператора (4.6) на скаляр $\varphi$. Таким образом, по определению
\[
\operatorname{grad} \varphi \equiv
abla \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{k}
\]

Теперь формулу (18.3) можно записать короче, а именно:
\[
E=-\operatorname{grad} \varphi=-
abla \varphi .
\]

Произвольное векторное поле $\mathbf{E}(x, y, z)$ характеризуется тремя скалярными функциями – $E_{x}(x, y, z), E_{y}(x, y, z), E_{z}(x, y, z)$. Потенциальность накладывает на поле столь сильное ограничение, что для его характеристики достаточно одной скалярной функции, а именно потенциала $\varphi(x, y, z)$. Зная эту функцию, можно вычислить напряженность поля по формуле (18.3) или (18.5). Формулы (18.3) и (18.5) с особой отчетливостью показывают несущественность аддитивной постоянной в выражении для потенциала: при дифференцировании аддитивная постоянная выпадает и не влияет на результат. Те же формулы показывают, что напряженность поля имеет размерность потенциала, деленного на длину. На практике напряженность электрического поля часто выражают в вольтах на сантиметр или в вольтах на метр. Приближенно
\[
1 \mathrm{~B} / \mathrm{cм} \approx \frac{1}{300} \text { СГСЭ-единиц, } \quad 1 \mathrm{~B} / \mathrm{m} \approx \frac{1}{30000} \text { СГСЭ-единиц. }
\]
3. Для выяснения геометрического смысла градиента введем понятие эквипотенциалъных поверхностей, или поверхностей равного потенииала. Как показывает само название, эквипотенциальная поверхность есть такая поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Он может меняться только при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к другой. Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку $O$ и введем локальную систему координат с началом в этой точке (рис. 56). Ось $z$ направим по нормали $\mathbf{n}$ к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциала $\varphi$. То же направление примем за положительное направление нормали $\mathbf{n}$. Координатная плоскость $x y$, очевидно, совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке $O$ $\partial \varphi / \partial x=\partial \varphi / \partial y=0$. Кроме того, $\mathbf{k}=\mathbf{n}$, $\partial \varphi / \partial z \equiv \partial \varphi / \partial n$. Формула (18.4) переходит в
\[
\operatorname{grad} \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial n} \mathbf{n} .
\]

Функция $\varphi$ возрастает наиболее быстро в направлении n. Поэтому можно дать следующее определение. Градиент функции $\varphi(x, y, z)$ есть вектор, направленный в сторону максималъного возрастания
Рис. 56
этой функции, а его длина равна производной функции ч в том же
направлении. Преимущество этого определения состоит в том, что оно носит инвариантный характер, т. е. никак не связано с выбором какой бы то ни было системы координат.

Проведем теперь в каком-либо направлении единичный вектор $\mathbf{s}$. Проекция вектора $\mathbf{A} \equiv \operatorname{grad} \varphi$ на это направление будет $A_{s}=(\mathbf{A s})=$ $=(\mathrm{s} \operatorname{grad} \varphi)$. Но ту же величину можно представить в виде производной $A_{s}=\partial \varphi / \partial s$, в чем легко убедиться, проведя в направлении $\mathrm{s}$ координатную ось и воспользовавшись одной из формул (18.2). Таким образом, получается соотношение
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial s}=(\mathrm{s} \operatorname{grad} \varphi) .
\]

Производная функции $\varphi$ в каком-либо направлении равна проекции вектора градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная максимальна, когда вектор $\mathbf{s}$ направлен вдоль $\operatorname{grad} \varphi$, т. e. по нормали к эквипотенциальной поверхности.
4. Вектор $\mathbf{E}$ направлен противоположно вектору градиента потенциала $\varphi$. Электрические силовые линии являются, таким образом, линиями, вдоль которых потенциал $\varphi$ изменяется наиболее быстро. Они нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности могут служить поэтому для наглядного изображения картины поля. Обычно их чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал получает одно и то же приращение $\Delta \varphi$. Чем меньше выбрано $\Delta \varphi$, тем детальнее будет представлено распределение потенциала в пространстве, а с ним и картина электростатического поля. Для большей наглядности чертят также силовые линии, ортогональные к семейству поверхностей равного потенциала. Там, где (при постоянном $\Delta \varphi$ ) соседние эквипотенциальные поверхности наиболее близко подходят друг к другу, напряженность электрического поля максимальна. Наоборот, в местах, где расстояния между ними велики, будет мала и напряженность поля Е. Поверхность проводника есть одна из эквипотенциальных поверхностей, и силовые линии должны подходить к ней нормально. Внутри проводника $E=0$, а потому потенциал $\varphi$ должен иметь одно и то же значение во всех точках проводника. Здесь эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объем.
ЗАДАЧИ
1. Доказать формулу
\[
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{A})=(\mathbf{A} \operatorname{grad} \varphi)+\varphi \operatorname{div} \mathbf{A} .
\]
2. Доказать формулу
\[
\operatorname{grad}(\mathbf{a r})=\mathbf{a},
\]

где а – постоянный вектор.
3. Из трех концентрических бесконечно тонких металлических сфер с радиусами $R_{1}<R_{2}<R_{3}$, находящихся в вакууме, крайние заземлены, а средней сообщен электрический заряд $Q$. Найти напряженность электрического поля во всем пространстве.

Ответ. Электрическое поле радиально и определяется выражениями
\[
E=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } r<R_{1} \text { или } R_{3}<r<\infty, \\
\frac{R_{1}\left(R_{2}-R_{3}\right)}{R_{2}\left(R_{3}-R_{1}\right)} \frac{Q}{r^{2}}, & \text { если } R_{1}<r<R_{2}, \\
\frac{R_{3}\left(R_{2}-R_{1}\right)}{R_{2}\left(R_{3}-R_{1}\right)} \frac{Q}{r^{2}}, & \text { если } R_{2}<r<R_{3},
\end{array}\right.
\]

где $r$ – расстояние от центра сфер.
4. Из трех параллельных металлических пластинок $A, B$ и $C$ (рис. 57) крайние $A$ и $B$ неподвижны и соединены с гальванической батареей, поддерживающей разность потенциалов $V$ между ними постоянной. Средняя пластинка $C$ сначала находится в контакте с верхней пластинкой $A$. Затем с помощью изолирующей ручки она перемещается по направлению к нижней пластинке. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженности полей $E_{1}$ и $E_{2}$ в зазорах

Рис. 57 между пластинками в зависимости от переменного расстояния $x$.
Ответ. $E_{1}=V x / d^{2}, E_{2}=V(x+d) / d^{2}$.
5. Внутри плоского воздушного конденсатора, обкладки которого соединены между собой, помещена поляризованная пластинка из электрета толщины $h$. Вектор поляризации пластинки $\mathbf{P}$ перпендикулярен к ее боковым граням. Пренебрегая зависимостью поляризованности электрета $\mathbf{P}$ от электрического поля, определить напряженность и электрическое смещение поля внутри и вне пластинки, если расстояние между обкладками конденсатора $A B$ равно $d$.

Ответ. В воздушном зазоре $E=D=4 \pi h P / d$. Внутри пластинки $E=$ $=-4 \pi(d-h) P / d, D=4 \pi h P / d$.