1. Рассмотрим сначала очень длинный прямолинейный провод, по которому течет постоянный ток $I$. Подводящие провода должны быть расположены настолько далеко, чтобы их магнитными полями в рассматриваемой области пространства можно было полностью пренебречь. Тогда провод может считаться бесконечно длинным. Магнитное поле элемента тока $I d \mathbf{l}$ (рис. 126) дается выражением
\[
d \mathbf{B}=\frac{I}{c r^{3}}[d \mathbf{l} \mathbf{r}]=\frac{I}{c r^{3}}\left[d \mathbf{l}_{\perp} \mathbf{r}\right],
\]

где $d \mathbf{l}_{\perp}$ – составляющая вектора $d \mathbf{l}$, перпендикулярная к r. Магнитные силовые линии будут окружностями, центры которых расположены на оси провода. В скалярной форме:
\[
d B=\frac{I}{c r^{2}} d l_{\perp}=\frac{I}{c r} d \alpha,
\]

Рис. 126
где $d \alpha$ – угол, под которым вектор $d \mathbf{l}$ виден из точки наблюдения. Введя расстояние до провода $R=r \cos \alpha$, получим $d B=I \cos \alpha d \alpha /(c R)$. Интегрирование этого выражения от $\alpha=-\pi / 2$ до $\alpha=+\pi / 2$ дает искомый результат:
\[
B=\frac{2 I}{c R} \text {. }
\]

Теперь нетрудно рассчитать взаимодействие двух бесконечно длинных параллельных постоянных токов $I_{1}$ и $I_{2}$. Первый ток в месте нахождения второго создает магнитное поле $B_{1}=2 I_{1} /(c R)$, где $R-$ расстояние между токами. Это поле действует на участок второго тока длины $l$ с силой $F=I_{2} l B_{1} / c$, или
\[
F=\frac{2}{R c^{2}} I_{1} I_{2} l .
\]

Измерив $F$, можно по этой формуле вычислить значение электродинамической постоянной $c$. Впервые эта постоянная была измерена несколько иным путем Вильгельмом Вебером и Рудольфом Кольраушем (1809-1858) в 1856 г. Они пришли к поразительному результату, что в пределах ошибок измерений величина с совпадает со скоростью света в вакууме. Последующие измерения других ученых не оставили никаких сомнений в том, что электродинамическая постоянная и скорость света в вакууме – это одна и та же физическая постоянная. Теоретические исследования Максвелла показали, что этот фундаментальный результат является выражением электромагнитной природы света.
2. Знание числового значения $c$ открывает возможность рационального построения системы единиц в учении об электрических и магнитных полях. Если ввести обозначение $q^{(m)}=q / c$, то основные формулы (49.1) и (50.2) перепишутся без множителя $c$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}=q^{(m)}[\mathbf{v B}], \\
\mathbf{B}=\frac{q^{(m)}}{r^{3}}[\mathbf{v r}] .
\end{array}
\]

Тем самым вводятся новые единицы заряда (и тока) – в $c$ раз большие соответствующих электростатических единиц и отличающиеся от них размерностью. На них основана так называемая магнитная система СГС, обозначаемая кратко СГСМ. Десятая доля СГСМ-единицы заряда называется кулоном, а силы тока – ампером. Это – точные определения кулона и ампера. (Не совсем точные определения, которыми мы пользовались до сих пор, использовали приближенное значение электродинамической постоянной $c \approx 3 \cdot 10^{10} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.)

Теперь можно дать определение единицы напряженности магнитного поля, которая называется гауссом. Допустим, что векторы V и В взаимно перпендикулярны и что $q^{(m)}=1$ СГСМ-ед., $v=1 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, B=1$ Гс. Тогда формула (51.3) дает $F=1$ дин. Это приводит к следующему определению. Гаусс есть индукиия такого магнитного поля, которое действует на заряд в одну СГСМ-единицу с силой в одну дину, если сам заряд движется перпендикулярно к магнитному полю со скоростъю 1 см/с. Легко переформулировать это определение, используя вместо единицы электрического заряда единицу электрического тока. Для получения конкретного представления о гауссе заметим, что напряженность земного магнитного поля меняется приблизительно от 0,4 Гс (на экваторе) до 0,7 Гс (на полюсе). В геомагнетизме применяется также более мелкая единица – гамма ( $\gamma$ ). По определению $1 \gamma=10^{-5}$ Гс.

Система СГСЭ применяется только для измерения чисто электрических величин: заряда, напряженности и смещения электрического поля, электрического потенциала, емкости, электродвижущей силы, электрической проводимости, электрического сопротивления и пр. Система СГСМ, напротив, применяется лишь для измерения чисто магнитных величин: напряженности и индукции магнитного поля, магнитного потока, коэффициентов само- и взаимоиндукции, магнитных моментов, вектора намагничивания и пр. Ни одна из этих систем никогда не используется как единая система для измерения всех электрических и магнитных величин. Гауссова система, которой мы пользуемся, является комбинированной. Единицы чисто электрических величин в ней совпадают с единицами СГСЭ, а единицы чисто магнитных величин – с единицами СГСМ.
3. Вычислим напряженность магнитного поля кругового тока на его оси (рис. 127). Элемент тока $I d l$ возбуждает магнитное поле $d \mathbf{B}$, перпендикулярное к радиусувектору r. Разложим это поле на
Рис. 127 две слагающие: осевую $d \mathbf{B}_{z}$ и радиальную $d \mathbf{B}_{r}$. При интегрировании по контуру кругового тока радиальные слагающие взаимно уничтожаются. Результирующее поле будет направлено вдоль оси $Z$, и надо интегрировать только осевую составляющую
\[
d B_{z}=\frac{I d l}{c r^{2}} \sin \alpha
\]

Угол $\alpha$ один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирование сводится к простому умножению на длину контура $2 \pi \alpha$. Таким образом,
\[
B_{z}=B=\frac{2 \pi a I}{c r^{2}} \sin \alpha=\frac{2 \pi a^{2} I}{c r^{3}} .
\]

В точках, не лежащих на оси, выражение для поля кругового тока имеет сложный вид.
4. Иногда удобно вводить в рассмотрение поверхностные токи, т. е. токи, текущие по тонким поверхностным слоям тел. Проведем на обтекаемой током поверхности линию, перпендикулярную к направлению тока. Ток, приходящийся на единицу длины такой линии, называется линейной плотностью тока и рассматривается как вектор i, направленный вдоль тока. За положительное направление обхода вокруг поверхностного, как и всякого другого тока, принимается направление вращения ручки правого буравчика, ориентированного по току, если при таком вращении буравчик ввинчивается в направление тока.
Пусть по площадке $d S$ (рис. 128) течет
Рис. 128
постоянный поверхностный ток с линейной плотностью і. Площадку
с током можно рассматривать как поверхностный элемент тока $\mathbf{i} d S$, создающий магнитное поле
\[
d \mathbf{B}=\frac{[\mathbf{i r}]}{c r^{3}} d S .
\]

Вектор $d \mathbf{B}$ перпендикулярен к току і. Его можно разложить на составляющую $d \mathbf{B}_{\tau}$, касательную к площадке $d S$, и на составляющую $d \mathbf{B}_{n}$, перпендикулярную к ней. Найдем составляющую $d \mathbf{B}_{\tau}$. Единичный вектор $\tau$ расположим в плоскости площадки $d S$, ориентируя его в положительном направлении обхода перпендикулярно к току $\mathbf{i}$, как указано на рис. 128. Единичный вектор нормали $\mathbf{n}$ можно направить произвольно. Очевидно,
\[
d B_{\tau}=(\tau d \mathbf{B})=i \frac{\tau\left[\mathbf{i}_{1} \mathbf{r}\right]}{c r^{3}} d S=i \frac{\left[\mathbf{i}_{1}\right] \mathbf{r}}{c r^{3}} d S,
\]

где $\mathbf{i}_{1}-$ единичный вектор в направлении тока $\mathbf{i}$. Так как $\left[\mathbf{i}_{1}\right]=-\mathbf{n}$, то
\[
d B_{\tau}=-i \frac{(\mathbf{r n})}{c r^{3}} d S=\frac{i}{c} d \Omega,
\]

где $d \Omega$ – телесный угол, под которым из точки наблюдения $A$ видна внутренняя сторона площадки $d S$.
5. Применим вспомогательную формулу (51.6) к цилиндрической трубке, по поверхности которой перпендикулярно к ее образующим течет постоянный ток с линейной плотностью $i$ (рис. 129). Такая трубка с током называется соленоидом. Найдем магнитное поле соленоида на его оси. Из соображений симметрии ясно, что поле В направлено вдоль оси соленоида. Поэтому для нахождения В достаточно просуммировать касательные составляющие $d B_{\tau}$ создаваемые отдельными поверхностными элементами тока. Поскольку величина $i$ постоянна по всей поверхности соленоида, формула (51.6) дает
\[
B=\frac{i}{c} \Omega,
\]

где $\Omega$ – полный телесный угол, под которым из точки наблюдения видна внутренняя поверхность соленоида. Формула (51.7) верна независимо от того, находится ли точка наблюдения внутри или вне соленоида.

В частном случае, когда соленоид длинный, а точка наблюдения лежит внутри него далеко от его концов, можно пренебречь телесными углами, под которыми видны основания трубки соленоида. Иными словами, соленоид можно считать бесконечно длинным. В таком случае $\Omega=4 \pi$, т. е.
\[
B=\frac{4 \pi}{c} i \text {. }
\]

На концах соленоида напряженность поля будет вдвое меньше. В дальнейшем будет показано, что формула (51.8) справедлива в любой точке внутри соленоида, а не только на его оси.

Проволочную спираль, шаг которой мал по сравнению с радиусом витка, можно приближенно рассматривать как соленоид. Пусть по спирали течет постоянный ток $I$. Если $N$ – число витков спирали, a $l$ – ее длина, то $i=N I / l$. Поэтому
\[
B=\frac{4 \pi}{c} \frac{N I}{l} .
\]

Эта формула не учитывает наклон витков спирали. Кроме того, она неприменима в непосредственной близости от проволоки, а также внутри нее.