1. Удельным зарядом частицы называется отношение заряда $е$ этой частицы к ее массе $m$. При определении этого отношения заряд $е$ принято выражать в единицах СГСМ, а массу $m$ – в граммах. В соответствии с этим в настоящем параграфе применяется система СГСМ. Удельный заряд можно определить, исследуя движение частицы в поперечных электрическом и магнитном полях. Такие исследования производились Дж. Дж. Томсоном и его сотрудниками в конце прошлого и начале настоящего столетия с целью установления природы катодных и анодных лучей в трубках с разреженными газами (давление порядка нескольких сотых мм рт. ст.). Они привели к открытию электрона и изотопов, т. е. химических элементов, ядра которых имеют одинаковые заряды, но различные массы.

2. Исследуем сначала движение частицы в поперечном электрическом поле заряженного конденсатора. Направим ось $X$ параллельно пластинам конденсатора, а ось $Z$ – перпендикулярно. Пусть частица перед входом в конденсатор двигалась вдоль оси $X$ (рис. 205). В дальнейшем под действием электрического поля конденсатора она отклонится в направлении оси $Z$ и будет двигаться в плоскости $Z X$. Уравнения движения частицы имеют вид
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=e E_{x}, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=e E_{z} .
\]

Будем предполагать, что угол наклона траектории частицы к оси $X$ на протяжении всего движения мал и, следовательно, $v_{z} \ll v_{x}$. В этом случае

Рис. 205 величиной $v_{z}^{2}$ написать можно пренебречь по сравнению с $v_{x}^{2}$ и написать
\[
v_{x}=\sqrt{v^{2}-v_{z}^{2}} \approx v\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{v_{z}}{v}\right)^{2}\right] \approx v,
\]

где $v$ – полная скорость частицы. В том же приближении скорость $v$ можно считать постоянной, а движение параллельно оси $X$ – равномерным. Исключив время $t$ с помощью соотношения $d x=v d t$, получим уравнение траектории в дифференциальной форме:
\[
\frac{d^{2} z}{d x^{2}}=\frac{e}{m v^{2}} E_{z} .
\]

В конденсаторе электрическое поле однородно и равно $\mathbf{E}$, за исключением малой области вблизи его краев, где $E_{z}$ меняется от $E$ до 0 . Выйдя из конденсатора, частица движется свободно, т.е. прямолинейно и равномерно, и попадает на фотопластинку $P$ в точке $M$, отклонившись от оси $X$ на расстояние $z=C M$. Отклонение $z$ найдется двукратным интегрированием уравнения (89.2) и равно
\[
z=A \frac{e}{m v^{2}},
\]

где $A$ – постоянная прибора:
\[
A=\int_{0}^{L} d x \int_{0}^{x} E_{z}\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]

а через $L$ обозначено расстояние $O C$ от начала координат $O$ до фотопластинки. Введя обозначение $f(x)=\int_{0}^{x} E_{z}\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}$, можем написать $A=\int_{0}^{L} f(x) d x$. После этого, выполнив интегрирование по частям, получим

\[
A=\int_{0}^{L}(L-x) E_{x} d x .
\]

Если пренебречь неоднородностью поля на краях конденсатора, то интегрирование легко выполняется и приводит к результату
\[
A=E l(L-l / 2),
\]

где $l$ – длина конденсатора.
3. Рассмотрим теперь движение заряженной частицы поперек магнитного поля в аналогичных условиях. Поле предполагается однородным направленным параллельно оси $Y$ (рис. 206). Исключение составляют только края области, занимаемой магнитным полем, где существуют отступления от однородности. Однако, как и в случае электрического поля, влияние неоднородностей магнитного поля предполагается малым. Пусть частица перед входом в магнитное поле по-прежнему двигалась в направлении оси $X$, а в дальнейшем отклонялась от этого направления мало.
Рис. 206 Тогда при вычислении силы Лоренца $\mathbf{F}=e[\mathbf{v B}]$ скорость $\mathbf{v}$ можно считать направленной всюду параллельно оси $X$, т. е. вдоль единичного вектора $\mathbf{i}: \mathbf{v}=v \mathbf{i}$. В этом приближении
\[
\mathbf{F}=\operatorname{ev}[\mathbf{i B}]=\operatorname{ev}\left([\mathbf{i j}] B_{y}+[\mathbf{i k}] B_{z}\right)=\operatorname{ev}\left(B_{y} \mathbf{k}-B_{z} \mathbf{j}\right) .
\]

Так как основное поле параллельно оси $Y$, то составляющей $B_{z}$ можно пренебречь. Тогда частица будет отклоняться в направлении оси $Z$ в соответствии с уравнением
\[
m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=e v B_{y} .
\]

Это уравнение может быть получено из второго уравнения (89.1), если в нем $E_{z}$ заменить на $v B_{y}$. Поэтому, не производя дальнейших вычислений, можно написать сразу
\[
z=C \frac{e}{m v}
\]

где $C-$ постоянная прибора:
\[
C=\int_{0}^{L}(L-x) B_{y} d x .
\]
4. Таким образом, отклонения в поперечном электрическом поле пропорциональны $e /\left(m v^{2}\right)$, а в поперечном магнитном поле – $e /(m v)$.

Поэтому, измерив эти отклонения, можно вычислить не только, удельный заряд $e / m$, но и скорость частицы $v$. Практически удобно конденсатор поместить в магнитное поле, чтобы частица подвергалась одновременному действию электрического и магнитного полей. Сами поля $\mathbf{E}$ и В могут быть либо параллельными, либо перпендикулярными друг к другу. В ранних исследованиях опыты производились с катодными лучами (электронами) и с анодными лучами (ионами).

Если электрическое поле конденсатора $\mathbf{E}$ перпендикулярно к магнитному полю $\mathbf{B}$, то эти поля будут отклонять частицу в одном и том же или в прямо противоположных направлениях (на рисунках 205 и 206 в направлении оси $Z$ ). Удобно напряжение на конденсаторе подобрать таким, чтобы для частиц с определенной скоростью эти отклонения компенсировали друг друга, т. е. чтобы частица проходила через прибор без отклонения. Затем надо выключить одно из полей и измерить получающееся отклонение. Тогда
\[
z=A \frac{e}{m v^{2}}=-C \frac{e}{m v} .
\]

Измерив $z$, отсюда легко вычислить скорость $v$ и удельный заряд $e / m$. Таким путем Дж. Дж. Томсон в 1897 г. впервые измерил $e / m$ для катодных лучей.

Одна из трудностей в этих исследованиях состояла в том, что частицы в электронных и ионных пучках обладали большим разбросом скоростей. Для исключения влияния этого разброса электрическое и магнитное поля выбирались параллельными друг другу. Допустим, что они направлены вдоль оси $Z$. Тогда электрическое поле будет отклонять частицу в направлении оси $Z$, а магнитное – в направлении оси $Y$. Для этих отклонений можно написать
\[
z=A \frac{e}{m v^{2}}, \quad y=C \frac{e}{m v} .
\]

Эти соотношения дают в параметрической форме уравнение кривой на фотопластинке, на которую попадают частицы с одинаковым удельным зарядом $e / m$, но с различными скоростями $v$. Параметром служит скорость $v$. Исключив этот параметр, представим уравнение той же кривой в виде
\[
z=\frac{A}{C^{2}} \frac{m}{e} y^{2} .
\]

Это – парабола. Измеряя отношение $z / y^{2}$, можно вычислить удельный заряд $e / m$. Этим методом парабол Дж. Дж. Томсон в 1912 г. открыл изотопы нерадиоактивных элементов (неон).

Развитие вакуумной техники и разработка источников электронов и ионов позволили производить подобные измерения в более определенных и лучше контролируемых условиях. Например, для получения пучка электронов с определенной скоростью $v$ можно использовать явление термоэлектронной эмиссии. Источником электродов служит раскаленная вольфрамовая нить. Электроны, испущенные этой нитью, ускоряются до определенной энергии приложенным напряжением и одновременно коллимируются с помощью отверстий или щелей, а затем подвергаются отклонению в электрических и магнитных полях.

В нашу задачу не входит изложение современных методов измерения удельных зарядов. Этим занимается масс-спектрометрия и массспектрография. Укажем только на основной результат, установленный еще в конце прошлого столетия. Оказалось, что в случае анодных лучей удельный заряд $e / m$ зависит от состава газа в трубке и составляет $10^{4}$ СГСМ-ед. заряда/г или меньше. Для катодных лучей эта величина много больше, а именно $e / m=1,759 \cdot 10^{7}$ СГСМ-ед. заряда $/$ г, и не зависит от состава газа в трубке. Установление этого факта Дж. Дж. Томсоном в 1897 г. означало открытие электрона.

ЗАДАЧА

В одном из ранних методов определения удельного заряда электрона электроны, вырванные из алюминиевого диска $K$, ускорялись разностью потенциалов $V$, приложенной между $K$ и щелью $S$ (рис. 207). Пройдя через щель $S$, электронный пучок попадал в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка. Вся система помещалась в вакууме. Изменяя напряженность магнитного поля, добивались того, чтобы ток на коллекторе $C$, регистрируемый гальванометром $\Gamma$, был максимален. Измерив магнитное поле $B$ в этот момент, можно вычислить $e / m$. Провести этот расчет, если расстояние между щелью $S$ и коллектором $C$ равно $d=10$ см, угол между прямой, проведенной от $S$ к $C$, и начальным направРис. 207 лением электронного пучка $\alpha=30^{\circ}, V=$ $=1000 \mathrm{~B}, B=10,6$ Гс.
Ответ. Удельный заряд $\frac{e}{m}=\frac{8 V}{B^{2} d^{2}} \sin ^{2} \alpha=1,78 \cdot 10^{7}$ СГСМ-ед. заряда/г.