1. Опыты по измерению удельного заряда $e / m$ укрепили представление об атомистической природе электричества. Дж. Дж. Томсон и его ученики Таунсенд (1868-1957) и Чарльз Вильсон (1869-1959) произвели первые измерения и самого элементарного заряда, т.е. наименьшего электрического заряда, встречающегося в природе. Однако их методами нельзя было получить точные результаты. Точные измерения были выполнены Робертом Милликеном (1868-1953) в классических опытах в 1908-1916 гг. Эти опыты принесли также неопровержимое доказательство атомизма электричества. Милликен измерял электрический заряд малых капелек масла. Схема его установки показана на рис. 208. В тщательно изготовленный плоский конденсатор через отверстие в верхней пластине могут попадать мелкие капельки масла, получаемые с помощью специального распылителя. С целью предохранения капелек от конвекционных потоков воздуха конденсатор заключен в защитный кожух, температура и давление воздуха в котором поддерживаются постоянными. На пластины конденсатора можно было накладывать
Рис. 208
постоянное напряжение от источника в несколько тысяч вольт. В ходе опыта это напряжение можно было менять. При распылении капельки масла заряжаются и, попадая в конденсатор, движутся под действием собственного веса и приложенного электрического поля. Движение отдельной капельки можно наблюдать с помощью микроскопа через специальное окошко.

Аналогичной установкой пользовался А.Ф. Иоффе (1880-1960) в 1912 г. В его опытах вместо капелек масла применялись цинковые пылинки, а также капельки ртути.
2. Допустим сначала, что электрического напряжения на конденсаторе нет. Тогда капля, попавшая в кондесатор, будет падать вниз под действием собственного веса, встречая при этом падении силу сопротивления $k v$, пропорциональную скорости капли $v$. Установившаяся скорость падения $v_{g}$ в поле тяжести определится уравнением
\[
k v_{g}=\left(m-m_{0}\right) g,
\]

где $m$ – масса капли, а $m_{0}$ – масса вытесненного ею воздуха. Последняя введена для учета архимедовой подъемной силы. Если капля заряжена, то при наложении электрического поля $E$ ее движение изменится. Поле $E$ подбирают таким, чтобы капля стала подниматься вверх. Если $v_{E}$ – установившаяся скорость капли при подъеме вверх, а $q$ – ее заряд, то
\[
k v_{E}=q E-\left(m-m_{0}\right) g .
\]

Из этих уравнений находим
\[
q=\frac{k\left(v_{g}+v_{E}\right)}{E} .
\]

Освещением рентгеновскими лучами можно слегка ионизовать воздух между пластинами конденсатора. Тогда заряд капли, а с ним и скорость установившегося движения ее в том же электрическом поле могут скачкообразно измениться. Если капля по-прежнему поднимается вверх с установившейся скоростью $v_{E}^{\prime}$, то ее новый заряд будет
\[
q^{\prime}=\frac{k\left(v_{g}+v_{E}^{\prime}\right)}{E},
\]

и, следовательно,
\[
\frac{q^{\prime}}{q}=\frac{v_{g}+v_{E}^{\prime}}{v_{g}+v_{E}} .
\]

Измеряя скорости установившегося движения одной и той же капли в одном и том же электрическом поле, можно сравнивать заряды $q$ и $q^{\prime}$. Если капля мала, а электричество имеет атомистическое строение, то можно ожидать, что заряд капли будет состоять из небольшого количества элементарных зарядов $e$. В таком случае отношение $q^{\prime} / q$ будет отношением небольших целых чисел. Это и наблюдалось в опытах Милликена и Иоффе.

При другом способе обработки наблюдений вычисляются скачки скорости $\Delta v_{E}$ одной и той же капли при ее перезарядке. Согласно формуле (90.2) они связаны с изменением заряда капли $\Delta q$ соотношением
\[
\Delta q=k \frac{\Delta v_{E}}{E} .
\]

Если электричество имеет атомистическое строение, то величина $\Delta q$ должна принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных зарядов. В частности, сам элементарный заряд $e$ будет равен наименьшему из этих значений $\Delta q$ (за исключением, конечно, значения $\Delta q=0$ ). Поэтому изменения установившейся скорости капли $\Delta v_{E}$ при перезарядке должны носить скачкообразный характер и быть кратными определенной наименьшей величине. Это также подтвердили наблюдения.
3. Для количественного определения заряда капли по формуле (90.2) необходимо знать коэффициент $k$. Его можно вычислить по формуле Стокса $k=6 \pi \eta a$, где $\eta$ – вязкость воздуха (см. т. I, § 101). Из-за малости капли прямое измерение ее радиуса $a$ с помощью микроскопа невозможно. Микроскоп дает лишь дифракционное изображение капли в виде яркой звездочки, получающейся вследствие рассеяния света на капле. Форма и размер этого дифракционного изображения не имеют никакого сходства с действительными формой и размерами рассеивающей капли. Для определения радиуса $a$ можно воспользоваться той же формулой Стокса. Подставляя в формулу (90.1)
\[
k=6 \pi \eta a, \quad m-m_{0}=\frac{4 \pi}{3} a^{3}\left(\rho-\rho_{0}\right),
\]

где $\rho-$ плотность масла, а $\rho_{0}-$ воздуха, находим
\[
a=\sqrt{\frac{9 \eta v_{g}}{2\left(\rho-\rho_{0}\right)}},
\]

и, следовательно,
\[
q=\frac{9 \pi \eta}{E} \sqrt{\frac{2 \eta v_{g}}{\rho-\rho_{0}}}\left(v_{g}+v_{E}\right) .
\]

Наименьшее значение $q$ или $\Delta q$, вычисленное по формуле (90.5) и будет равно элементарному заряду $e$.

4. На деле оказалось, что в случае очень малых капель вычисления по формуле (90.5) приводили к аномально большим значениям элементарного заряда $e$, которые были тем больше, чем меньше размер капли. Милликен объяснил этот результат неприменимостью формулы Стокса к очень малым капелькам. Дело в том, что формула Стокса выводится в предположении, что вязкая среда, в которой движется шар, является сплошной. В случае газов для выполнения этого условия необходимо, чтобы средняя длина свободного пробега молекулы газа $\lambda$ была мала по сравнению с размерами шара ( $\lambda \ll a)$. Кённингам в 1910 г., применяя кинетическую теорию газов, ввел поправку в формулу Стокса и получил
\[
k=\frac{6 \pi \eta a}{1+A \lambda / a},
\]

где $A$ – постоянная. Эту формулу можно также обосновать, записав знаменатель в виде $f(\lambda / a)$, а затем разложить его по степеням $\lambda / a$, оборвав это разложение на линейном члене относительно $\lambda / a$. Поскольку $\lambda$ обратно пропорциональна давлению газа $\mathscr{P}$, формулу можно также привести к виду
\[
k=\frac{6 \pi \eta a}{1+B /(\mathscr{P} a)} .
\]

Постоянную $B$ можно вычислить газокинетически, однако надежнее измерить ее экспериментально. Подстановка выражения (90.7) в формулу (90.1) приводит к кубическому уравнению относительно радиуса капли $a$ :
\[
\frac{\eta v_{g}}{1+B /(\mathscr{P} a)}=\frac{2}{9}\left(\rho-\rho_{0}\right) a^{2} .
\]

Так как дробь $B /(\mathscr{P} a)$ является малой поправкой, то это уравнение можно решить методом последовательных приближений. В нулевом приближении поправкой $B /(\mathscr{P} a)$ пренебрегаем совсем и получаем для $a$ прежнее выражение (90.4). Его будем теперь обозначать через $a_{0}$, т. е.
\[
a_{0}=\sqrt{\frac{9 \eta v_{g}}{2\left(\rho-\rho_{0}\right)}} .
\]

Затем в знаменателе уравнения (90.8) дробь $B /(\mathscr{P} a)$ заменим на $B /\left(\mathscr{P} a_{0}\right)$ и из полученного таким путем квадратного уравнения найдем $a$ в первом приближении. Далее можно было бы найти $a$ во втором приближении и т. д. Однако это вряд ли имеет смысл, так как исходная формула (90.7) верна лишь с точностью до линейных членов относительно $B /(\mathscr{P} a)$. Однако, как показал Милликен, точность первого приближения уже достаточна.

Из изложенного ясно, что в первом приближении в формуле (90.5) вязкость $\eta$ надо просто заменить на $\frac{\eta}{1+B /\left(\mathscr{P} a_{0}\right)}$. Это дает
\[
q=\frac{q_{0}}{\left[1+B /\left(\mathscr{P} a_{0}\right)\right]^{3 / 2}},
\]

где $q_{0}$ – заряд капли, вычисленный в нулевом приближении, т. е. по формуле (90.5), а $q$ – заряд, вычисленный в первом приближении, который принимается за истинный заряд капли. В частности, для элементарного заряда $е$ получаем
\[
\left(\frac{e_{0}}{e}\right)^{2 / 3}=1+\frac{B}{\mathscr{P} a_{0}} .
\]

Будем производить измерения при различных давлениях $\mathscr{P}$ и откладывать по оси абсцисс $1 /\left(\mathscr{P} a_{0}\right)$, а по оси ординат $\left(e_{0} / e\right)^{2 / 3}$. Тогда должна получиться прямая линия (рис. 209). И действительно, Милликен убедился, что экспериментальные точки точно ложатся на одну прямую. Это доказывает правильность исходных положений, на которых основывались вычисления. Продолжив прямую (90.10) до пересечения с осью ординат, найдем, что в точке пересечения $e=e_{0}$. Величина $e_{0}$, соответствующая этой точке пересечения, и есть элементарный заряд $e$. Такое значение $e$ мы получили бы по формуле (90.5), если бы производили измерения
Рис. 209 с большими каплями, когда применимость формулы Стокса не вызывает сомнений. По наклону прямой (90.10) можно определить и постоянную $B$. По современным данным, $e=4,803 \cdot 10^{-10}$ СГСЭ-ед. $=1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл. Милликен получил несколько меньшее значение, так как он пользовался заниженным значением для вязкости воздуха. Зная $e$ и удельный заряд $e / m$, можно вычислить массу электрона $m=9,11 \cdot 10^{-28}$ г.