1. Допустим, что единственными источниками электрического поля $\mathbf{E}$ в проводниках, по которым текут токи, являются электрические заряды, возбуждающие поля по закону Кулона. При прохождении тока непрерывно происходит убыль зарядов, точнее, нейтрализация положительного и отрицательного электричеств. Для того чтобы напряженность поля $\mathbf{E}$, а с ней и плотность электрического тока $\mathbf{j}$ оставались неизменными, необходимы какие-то дополнительные силы или процессы, непрерывно пополняющие электрические заряды.

Плотность электрического тока, как видно из формулы (42.7), определяется полной силой $\mathbf{F}$, действующей на электрон или другой носитель зарядов. Силу $\mathbf{F}$ можно разложить на две части: силу электрическую и силу неэлектрическую, включающую в себя все прочие силы. Эти прочие силы принято называть сторонними. В соответствии с этим полагаем $\mathbf{F} / e=\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\text {стор }}$, где $\mathbf{E}^{\text {стор }}$ – напряженность поля сторонних сил, т.е. сторонняя сила, отнесенная к единице заряда. С учетом сторонних сил закон Ома записывается в виде
\[
\mathbf{j}=\lambda\left(\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\text {стор }}\right) \text {. }
\]
2. Приведем пример сторонней силы, не имеющий, правда, практического значения. Если металлический диск равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ (рис. 111), то в системе отсчета, связанной с диском, на электрон действует центробежная сила $m \omega^{2} \mathbf{r}$, где $m$ – масса электрона. Разделив ее на заряд электрона $e$, найдем напряженность стороннего поля:
\[
\mathbf{E}^{\text {стор }}=\frac{m \omega^{2}}{e} \mathbf{r}=\operatorname{grad} \frac{m \omega^{2} r^{2}}{2 e}=\frac{4 \pi^{2} m N^{2}}{e} \mathbf{r},
\]

где $N$ – число оборотов диска в секунду. (Силой Кориолиса (1792-1843) можно пренебречь.) Если к оси и периферии диска подвести скользящие контакты, то через гальванометр потечет электрический ток. Чтобы составить представление о порядке величины $\mathbf{E}^{\text {стор }}$, подставим в формулу (43.2) $r=10$ см, $N=100$ об/с. Получим ничтожную величину $\mathbf{E}^{\text {стор }} \approx 2 \cdot 10^{-9} \mathrm{~B} /$ см.
3. Второй простой пример, в котором сторонние силы носят несколько формальный характер, дает концентрационный элемент. Этот элемент представляет собой два электрода, погруженных в раствор электролита, концентрация которого меняется от точки к точке. Никаких химических реакций между электродами и электролитом не происходит. Электрический ток возникает и поддерживается в результате диффузионного выравнивания концентраций.

Для простоты будем предполагать электроды плоскими (рис. 112). Ось $X$ направим перпендикулярно к поверхностям электродов от отрицательного электрода к положительному. Пусть концентрация электролита зависит только от $x$. Ради конкретности в качестве электролита возьмем водный раствор соляной кислоты $\mathrm{HCl}$. Молекулы $\mathrm{HCl}$ диссоциируют на положительные ионы водорода $\mathrm{H}^{+}$и отрицательные ионы хлора $\mathrm{Cl}^{-}$. Заряд отрицательного иона обозначим через $e_{-}$, положительного – через $e_{+}$. По абсолютной величине они одинаковы и равны элементарному заряду $|e|=4,80 \times$ $\times 10^{-10}$ СГСЭ-ед. Концентрации отрицательных и положительных ионов $n^{-}(x)$ и $n^{+}(x)$ в наших расчетах следует считать одинаковыми, так как электролит во всех случаях является либо электрически нейтральным, либо квазинейтральным (см. § 42). Поэтому можно обозначить эти концентрации одной и той же буквой $n(x)$.

Из-за наличия градиента концентрации $n(x)$ начнется диффузия обоих ионов в сторону уменьшения концентрации. Скорость диффузии водородных ионов много больше скорости диффузии ионов хлора. Благодаря этому возникнет разделение зарядов и появится электрическое поле, стремящееся затормозить диффузию ионов водорода и ускорить диффузию ионов хлора. Напряженность электрического поля будет возрастать до тех пор, пока скорости ионов обоих знаков не сделаются одинаковыми. Вместе с диффузией возникнет диффузионный электрический ток. Плотность диффузионного тока равна
\[
-D^{-} \frac{d n^{-}}{d x} e^{-}-D^{+} \frac{d n^{+}}{d x} e^{+}=\left(D^{-}-D^{+}\right) \frac{d n}{d x} e,
\]

где $D^{-}$и $D^{+}$- коэффициенты диффузии ионов водорода и ионов хлора. Этот ток надо прибавить к току $\left(B^{-}+B^{+}\right) e^{2} n E$, вызванному электрическим полем (см. формулу (42.19)). Плотность полного тока будет
\[
j=\left(D^{-}-D^{+}\right) e \frac{d n}{d x}+\left(B^{-}+B^{+}\right) n e^{2} E .
\]

Вводя в эту формулу электрическую проводимость $\lambda=\left(B^{-}+B^{+}\right) n e^{2}$, получим
\[
j=\lambda\left(E+\frac{1}{e} \frac{D^{-}-D^{+}}{B^{-}+B^{+}} \frac{1}{n} \frac{d n}{d x}\right) .
\]

Воспользовавшись соотношением Эйнштейна $D=k T B$ (см. т. II, § 91), придадим этой формуле вид
\[
j=\lambda\left(E+\frac{k T}{e} \frac{B^{-}-B^{+}}{B^{-}+B^{+}} \frac{d}{d x}(\ln n)\right),
\]

где $k$ – постоянная Больцмана, а $T$ – термодинамическая температура. Сравнение формулы (43.3) с (43.1) приводит к соотношению
\[
E^{\text {стор }}=\frac{k T}{e} \frac{B^{-}-B^{+}}{B^{-}+B^{+}} \frac{d}{d x}(\ln n),
\]

или в векторной форме
\[
\mathbf{E}^{\text {стор }}=\frac{k T}{e} \frac{B^{-}-B^{+}}{B^{-}+B^{+}} \operatorname{grad} \ln n .
\]

Полученная формула показывает, что от диффузии можно отвлечься и формально рассматривать электролит как однородный, если к напряженности электрического поля $\mathbf{E}$ добавить напряженность поля сторонних сил. Формула (43.4) справедлива и в случае электродов произвольной формы, так как электролит всегда можно мысленно разделить на достаточно малые части, в пределах каждой из которых вектор $\operatorname{grad} \ln n$ может считаться одним и тем же, и применить выражение (43.4).

Концентрационный элемент как источник электрического тока также не применяется на практике. Однако происходящие в нем процессы аналогичны процессам в гальванических элементах, где электрические токи поддерживаются за счет химических реакций между электродами и электролитами. Для гальванических элементов и прочих источников тока можно также пользоваться формулой (43.1). При этом можно отвлечься от детального рассмотрения физических процессов, возбуждающих и поддерживающих электрический ток в цепи, учитывая эти процессы формально с помощью поля сторонних сил $\mathbf{E}^{\text {стор }}$. Сторонние силы в гальванических элементах действуют на границах между электролитами и электродами. Они действуют также на границе соприкосновения двух разнородных металлов и обусловливают контактную разность потенциалов между ними.
4. Как показывают формулы (43.2) и (43.5), в обоих случаях, к которым они относятся, вектор $\mathbf{E}^{\text {стор }}$ выражается через градиент какогото скаляра. Иными словами, в тех областях пространства, в которых действуют сторонние силы, поле этих сил ведет себя как потенциальное силовое поле. Это утверждение носит общий характер, если только сторонние силы, как это бывает в большинстве встречающихся случаев, не зависят (или практически не зависят) от силы тока, текущего через источник. Действительно, сила тока зависит от электрической проводимости и геометрических размеров проводника, который соединяет полюсы источника. Разомкнем цепь, т. е. удалим этот проводник. Тогда, по нашему предположению, поле сторонних сил не изменится. Однако с размыканием цепи прекратятся и все токи, а потому на основании формулы (43.1) должно быть $\lambda\left(\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\text {стор }}\right)=0$. Внутри источника $\lambda
eq$ $
eq 0$, и после сокращения на $\lambda$ получаем $\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\text {стор }}=0$. Поскольку электрическое поле $\mathbf{E}$ потенциально, отсюда следует, что внутри источника $\mathbf{E}^{\text {стор }}$ ведет себя также как потенциальное поле. Вне источника $\lambda=0$, и соотношение $\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\text {стор }}=0$ несправедливо. Поэтому во всем пространстве стороннее поле не потенциально. И только благодаря этому оно способно возбуждать и поддерживать постоянные электрические токи (см. следующий параграф).
ЗАДАЧА
Сторонние силы в концентрационном элементе можно рассматривать как силы осмотического давления, действующие в электролите при наличии градиента концентрации. Получить с этой точки зрения формулу (43.4).

Решение. Ввиду квазинейтральности электролита осмотические давления отрицательных и положительных ионов одинаковы. Каждое из них определяется формулой $\mathscr{P}=n k T$. На ионы каждого знака, находящиеся в единице объема, действует сила осмотического давления $-\partial \mathscr{P} / \partial x=-k T \frac{\partial n}{\partial x}$, а на один ион – сила $F^{\text {стор }}=-\frac{k T}{n} \frac{\partial n}{\partial x}$. Направление силы $F^{\text {стор }}$ не зависит от знака заряда иона. Под действием силы $F^{\text {стор }}$ ионы приобретут скорости $u_{-}=B^{-} F^{\text {стор }}, u_{+}=B^{+} F^{\text {стор }}$, и возникнет диффузионный электрический ток с плотностью
\[
j_{\text {диф }}=n\left(e_{-} u_{-}+e_{+} u_{+}\right)=n e\left(B^{+}-B^{-}\right) F^{\text {стор }},
\]

или ввиду соотношения (42.19)
\[
j_{\text {диф }}=-\lambda \frac{B^{-}-B^{+}}{\left(B^{-}+B^{+}\right) e} F^{\text {стор }} .
\]

Представив это выражение в виде $j_{\text {диф }}=\lambda E^{\text {стор }}$ и воспользовавшись выражением для $F^{\text {стор }}$, найдем напряженность стороннего поля $E^{\text {стор }}$, совпадающую с (43.4).