Главная > Общий курс физики. Т. III. Электричество (Сивухин Д. В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. О телесных углах говорилось в § 5. Для дальнейшего понятие телесного угла необходимо обобщить. Возьмем произвольный замкнутый контур L и натянем на него произвольную замкнутую поверхность S (рис. 134 a). На контуре L установим положительное направление обхода, а на поверхности S — положительное направление нормали n. Эти направления должны быть согласованы между собой так, чтобы они находились в правовинтовом соотношении. Для упрощения рассуждений будем пользоваться плоскими, а не пространственными рисунками. Сечение замкнутого контура L плоскостью рисунка изобразим двумя кружками. Кружок с точкой внутри него означает, что контур пересекает плоскость рисунка в направлении к читателю, а кружок с крестиком — в направлении от читателя. Как и раньше, сторону поверхности S, в которую нормаль n входит, условимся называть
Рис. 134

внутренней, а сторону, из которой она выходит, — внешней. Телесный угол Ω мы считали положительным, когда из его вершины видна внутренняя сторона поверхности S, и отрицателъным, когда видна внешняя. Временно сохраним это соглашение и здесь.
2. При перемещении вершины телесного угла Ω его значение меняется, вообще говоря, непрерывно. Исключение составляет случай, когда вершина A пересекает поверхность S. Тогда телесный угол получает скачкообразное приращение, равное +4π, если точка A переходит с внешней стороны на внутреннюю, и 4π, если переход совершается в противоположном направлении. Для пояснения рассмотрим сначала частный случай, когда контур L и поверхность S плоские. Если вершина A находится бесконечно близко от плоскости S с внешней стороны, то эта плоскость видна из вершины под углом 2π. Если же вершина переходит на внутреннюю сторону, то телесный угол становится равным +2π, т. е. получает приращение 4π. Допустим теперь, что поверхность ACB, натянутая на контур L, про-

Рис. 135 извольная (рис. 135). Пусть 1 и 2 — две бесконечно близкие точки, лежащие по разные стороны от поверхности ACB. Натянем на тот же контур L бесконечно близкую поверхность ACB так, чтобы обе точки 1 и 2 оказались по одну сторону от нее. Телесные углы Ω1 и Ω2, под которыми видна из точек 1 и 2 эта поверхность, будут отличаться друг от друга бесконечно мало, причем Ω1=Ω1. Возьмем теперь замкнутую поверхность ACBCA. Так как на ACB нормаль n проведена наружу, а на ACB — внутрь указанной замкнутой поверхности, то из точки 2 поверхность ACBCA будет видна под углом Ω2Ω2. А так как эта поверхность замкнутая, то тот же угол равен 4π, т. е. Ω2Ω2=4π. Но, очевидно, с точностью до бесконечно малых Ω2=Ω1=Ω1, а потому Ω2Ω1=4π, что и требовалось доказать.
3. Разрывное поведение телесного угла Ω делает эту величину неудобной при рассмотрении замкнутых контуров, обтекаемых токами. Действительно, точка разрыва величины Ω зависит от того, где проведена вспомогательная поверхность S, натянутая на контур L. Магнитное же поле тока, текущего по указанному контуру, ни от каких вспомогательных поверхностей не зависит. Однако небольшим обобщением понятия телесного угла нетрудно освободить это понятие от указанного неудобства. Для этого телесный угол надо определить как многозначную (точнее, бесконечнозначную) функцию положения его вершины. Если вершина занимает какое-то произвольное (начальное) положение, то телесный угол можно определить так, как это делалось выше. Когда вершина A описывает произвольный замкнутый путь s1 (рис. 134 б), возвращаясь в исходное положение, не пересекая при этом (или пересекая в противоположных направлениях четное число раз) никакой поверхности, натянутой на контур L, то телесный угол Ω возвращается к своему исходному значению. Если же замкнутый путь s2 обходит вокруг контура L, то телесный угол получает приращение 4π; при обходе в отрицательном направлении приращение телесного угла будет 4π. Так понимаемый телесный угол Ω определен с точностью до слагаемого вида 4πn, где n — целое число (положительное или отрицательное). При непрерывном перемещении вершины A телесный угол меняется непрерывно. Величина его не зависит ни от какой поверхности, натянутой на контур L. Она определяется только самим контуром L и установленным на нем положительным направлением обхода. Поэтому следует говорить о телесном угле, под которым виден сам контур L, а не поверхность, натянутая на него. Именно в таком смысле мы будем понимать телесный угол, когда в следующем параграфе свяжем эту величину с напряженностью магнитного поля.
4. Рассмотрим теперь дифференцирование телесных углов. Пусть контур, на который опирается телесный угол Ω, неподвижно закреплен. Тогда величина телесного угла Ω будет зависеть только от положения его вершины. Найдем производные величины Ω по координатам x,y,z этой вершины. При смещении вершины на dr (рис. 136a ) телесный угол получает приращение
Рис. 136
dΩ=Ω2Ω1. Такое же приращение он получил бы, если бы вершина была неподвижно закреплена, а контур, как целое, смещен в противоположном направлении на dr (рис. 136 б). При таком смещении точки контура опишут цилиндрическую поверхность S, которая видна из вершины A под телесным углом Ωбок. . Как видно из рисунка, Ω1=Ω2+Ωбок , т. е. dΩ=Ω2Ω1= Ωбок. . Телесный угол Ωбок  определяется выражением
Ωбок =(dSr)r3,

где dS — элемент площади боковой поверхности, причем радиус-вектор r проведен от площадки dS к вершине телесного угла, а единичная нормаль n к цилиндрической поверхности направлена наружу, как указано на рисунке. Если dl — элемент длины контура, то при таком выборе единичной нормали dS=[drdl]. Подставляя это выражение в предыдущее и вынося dr из-под знака интеграла, получим
Ωбок =[drdl]rr3=dr[dlr]r3=adr,

где введено обозначение
a=[dlr]r3.

Интегрирование здесь ведется по контуру, на который опирается телесный угол. Таким образом, dΩ=adr=axdx+aydy+azdz. Отсюда находим
Ωx=ax,Ωy=ay,Ωz=az,

или в векторной форме
gradΩ=[dlr]r3.

1
Оглавление
email@scask.ru