1. Одним из главных способов возбуждения электрического тока в телах является создание и поддержание в них электрического поля. Как показывает опыт, для многих тел (например, металлов) в широких пределах плотность электрического тока $\mathbf{j}$ пропорциональна напряженности электрического поля $\mathbf{E}$. Это – один из важнейших, хотя и не фундаментальных, законов электродинамики. Он называется законом Ома (1787-1854). Математически закон Ома выражается формулой
\[
\mathbf{j}=\lambda \mathbf{E},
\]

где $\lambda$ – постоянная для данного материала величина, называемая его удельной электрической проводимостью. Она зависит от физического состояния тела (температуры, давления и пр.). Строго говоря, закон Ома справедлив лишь для физически однородных тел. Величина, обратная электрической проводимости, называется удельным сопротивлением материала:
\[
\rho=1 / \lambda .
\]

В гауссовой (а следовательно, и в электростатической) системе единиц электрическая проводимость $\lambda$ имеет размерность, обратную времени. Ее единица есть обратная секунда $\left(\mathrm{c}^{-1}\right)$. Удельное сопротивление $\rho$ измеряется в секундах (c). Разумеется, совпадение размерностей удельного сопротивления и времени не означает, что эти величины по своей физической природе тождественны. Такое совпадение имеет место только в гауссовой и СГСЭ-системах единиц. В других системах эти величины имеют разные размерности (см. § 44).
2. Если ток стационарный, то объемная плотность электричества в однородном проводнике равна нулю. Действительно, для стационарных токов справедливо уравнение (40.7). Перепишем его в виде $\operatorname{div} \lambda \mathbf{E}=0$ или $\operatorname{div}\left(\frac{\lambda}{\varepsilon} \mathbf{D}\right)=0$. Так как среда по предположению однородна, то $\lambda=$ const, $\varepsilon=$ const и рассматриваемое уравнение сводится к виду $\operatorname{div} \mathbf{D}=0$. Отсюда с учетом теоремы Гаусса (13.5) находим $\rho=0$.

Таким образом, в случае стационарных токов макроскопические электрические заряды могут находиться только на поверхности или в местах неоднородности проводящей среды. В этом отношении электрическое поле стационарных токов аналогично электростатическому. Аналогия между этими полями идет еще дальше. Если точки стационарны, то плотность электрических зарядов в каждой точке пространства не меняется во времени, хотя и происходит движение электричества: на место уходящих электрических зарядов непрерывно поступают новые. Такие заряды, как показывает опыт (а также уравнения Максвелла), создают в окружающем пространстве такое же кулоновское электрическое поле, что и неподвижные заряды той же плотности. Отсюда следует, что электрическое поле стационарных токов есть поле потенциальное.

Тем не менее электрическое поле стационарных токов существенно отличается от электростатического. Электростатическое поле есть кулоновское поле неподвижных зарядов. Внутри проводников при равновесии зарядов оно равно нулю. Электрическое поле стационарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле стационарных токов существует и внутри проводников. Если бы это было не так, то в проводниках не было бы и электрических токов, как это следует из закона Ома (41.1). Силовые линии электростатического поля всегда нормальны к поверхности проводника. Для электрического поля стационарных токов это не обязательно (см. задачу 1 к этому параграфу).
ЗАДАЧИ
1. Параллельные длинные однородные пластинки $A B$ и $C D$ (рис. 109) сделаны из материала, плохо проводящего электричество (например, из дерева). Боковые края их $A$ и $C$ накоротко соединены хорошим проводником (например, металлом), а между краями $B$ и $D$ поддерживается постоянное напряжение $V$. Найти напряженность электрического поля и форму электрических силовых линий между пластинками, пренебрегая краевыми эффектами. Расстояние между пластинками равно $d$, а ширина каждой из них $A B=C D=h$.
Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рис. 109 (ось $z$ перпендикулярна к плоскости рисунка и параллельна длинным сторонам пластинок). Искомое поле потенциально и удовлетворяет уравнению Лапласа $\partial^{2} \varphi / \partial x^{2}+\partial^{2} \varphi / \partial y^{2}=0$. На проводнике $A C$ (т.е. при $y=0$ ) потенциал
Рис. 109 должен обращаться в постоянную, которую мы примем равной нулю. Искомое решение будет $\varphi=\alpha x y+\beta y$, где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные. В силу симметрии потенциал $\varphi$ должен менять знак при замене $x$ на $-x$, а потому $\beta=0$.

Для напряженности поля получаем
\[
E_{x}=-\frac{\partial \varphi}{\partial x}=-\alpha y, \quad E_{y}=-\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\alpha x .
\]

Постоянная $\alpha$ найдется по разности потенциалов между точками $A$ и $B$ (или между точками $C$ и $D$ ). Потенциалы точек $B$ и $D$ равны соответственно $\varphi_{B}=$ $=+V / 2, \varphi_{D}=-V / 2$. Напряженность поля $E_{y}$ на поверхности пластины $A B$ (т. е. при $x=-d / 2$ ) будет $E_{y}=-V /(2 h)=\alpha d / 2$, откуда $\alpha=-V /(h d)$. Окончательно
\[
E_{x}=\frac{V y}{h d}, \quad E_{y}=\frac{V x}{h d} .
\]

Уравнение силовой линии $d x / E_{x}=d y / E_{y}$ имеет вид
\[
\frac{d x}{y}=\frac{d y}{x},
\]

откуда $y^{2}-x^{2}=K$, т.е. силовыми линиями являются равносторонние гиперболы. При $K>0$ оси гипербол совпадают с осью $y$, при $K<0$ с осью $x$. Для выяснения смысла постоянной $K$ обозначим через $a$ расстояние от вершины гиперболы до начала координат. При $K>0$ координатами вершины гиперболы будут $(0, a)$. Они должны удовлетворять уравнению $a^{2}-$ $-0^{2}=K$, откуда $K=a^{2}$. Аналогично, для второго случая $(K<0) K=-a^{2}$. Таким образом, получаются два семейства гипербол: $y^{2}-x^{2}=a^{2}$ и $x^{2}-y^{2}=a^{2}$, асимптотами которых являются биссектрисы соответствующих координатных углов (рис. 110). Гиперболические силовые линии первого семейства легко воспроизводятся экспериментально обычным методом, описанным в § 3. Силовые линии второго семейства экспериментально получить трудно изза малости составляющей поля $E_{x}$.
2. Пространство между пластинами слоистого плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой электрической проводимостью. ДиРис. 110 электрическая проницаемость и электропроводность изменяются от $\varepsilon_{1}=4, \lambda_{1}=10^{-9}$ Ом $^{-1} \cdot \mathrm{cм}^{-1}$ на одной поверхности диэлектрика до $\varepsilon_{2}=3, \lambda_{2}=10^{-12}$ Ом $^{-1} \cdot$ см $^{-1}$ на другой его поверхности. Конденсатор включен в цепь батареи постоянной электродвижущей силы. Определить величину и знак суммарного свободного заряда $q$, который возникает в диэлектрике, когда в цепи установится постоянный электрический ток $I=10^{-7} \mathrm{~A}$, текущий через диэлектрик в направлении от стороны 1 к стороне 2.
\[
\text { Ответ. } q=\frac{I}{4 \pi}\left(\frac{\varepsilon_{2}}{\lambda_{2}}-\frac{\varepsilon_{1}}{\lambda_{1}}\right)=78 \text { СГСЭ-ед. }=2,6 \cdot 10^{-8} \text { Кл. }
\]
3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя однородными слабо проводящими слоями диэлектрика с толщинами $h_{1}$ и $h_{2}$. Диэлектрическая проницаемость и электрическая проводимость первого диэлектрика равны соответственно $\varepsilon_{1}$ и $\lambda_{1}$, второго $-\varepsilon_{2}$ и $\lambda_{2}$. Найти плотность поверхностных свободных зарядов $\sigma$ на границе между диэлектриками, которая установится при наложении на конденсатор постоянного напряжения $V$.
\[
\text { Ответ. } \sigma=\frac{V}{4 \pi} \frac{\varepsilon_{2} \lambda_{1}-\varepsilon_{1} \lambda_{2}}{h_{1} \lambda_{2}+h_{2} \lambda_{1}} \text {. }
\]