1. Если нет омического сопротивления, то свободные колебания в колебательном контуре описываются уравнением
\[
\ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=0 .
\]

Уравнением такого же типа описываются свободные незатухающие колебания груза на пружине. Всякая система – механическая, электрическая или какая-либо другая, свободные колебания которой подчиняются уравнению типа (123.1), называется гармоническим осциллятором. При наличии силы сопротивления $2 \gamma \dot{q}$ система называется гармоническим осциллятором с затуханием.

Для решения уравнения (123.1) умножим обе части его на $\dot{q}$. Тогда после небольших преобразований получим
\[
\frac{d}{d t}\left(\dot{q}^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}\right)=0 .
\]

Отсюда следует, что величина $\dot{q}^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}$ не меняется во времени. Так как эта величина есть сумма двух квадратов, то она существенно положительна и может быть представлена в виде
\[
\dot{q}^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}=\omega_{0}^{2} q_{0}^{2},
\]

где $q_{0}$ – постоянная. Это равенство выражает сохранение энергии, так как его можно записать в виде
\[
\frac{1}{2} L I^{2}+\frac{q^{2}}{2 C}=\text { const. }
\]

Чтобы выполнить второе интегрирование, разделим переменные:
\[
\frac{d q}{\sqrt{q_{0}^{2}-q^{2}}}= \pm \omega_{0} d t .
\]

Отсюда
\[
\arccos \frac{q}{q_{0}}= \pm \omega_{0} t+\text { const }
\]

или
\[
q=q_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\delta\right) .
\]

Постоянные интегрирования $q_{0}$ и $\delta$ определяются начальными условиями. В качестве таковых можно, например, взять значения заряда $q$ и тока $I=\dot{q}$ в момент времени $t=0$.
2. Формулой вида (123.2) описываются также свободные колебания груза, подвешенного на пружине, физического или математического маятника при малых отклонениях, ножки звучащего камертона, а также колебания напряжения в цепи городского тока. Если какая-либо величина меняется во времени по закону (123.2), то говорят, что она совершает гармоническое колебание. С гармоническими колебаниями механических систем мы подробно ознакомились уже в первом томе, где нас больше всего интересовали периоды свободных колебаний таких систем. Величина $\omega_{0}$ называется круговой или циклической частотой гармонического колебания. Она совпадает с собственной круговой частотой колебательной системы, определяемой формулой (122.7). Промежуток времени
\[
T_{0}=\frac{2 \pi}{\omega_{0}},
\]

через который значения колеблющейся величины периодически повторяются, называется периодом колебания. Число колебаний в единицу времени
\[

u_{0}=\frac{1}{T_{0}}=\frac{\omega_{0}}{2 \pi}
\]

называется частотой колебаний. За единицу частоты принимают гери. Герц есть такая частота, когда в одну секунду совершается одно колебание. В дальнейшем прилагательное «круговая» будет часто опускаться. О какой частоте идет речь, будет видно из обозначений. Круговая частота всегда обозначается $\omega$ или $\Omega$, просто частота $-
u$. Величина $q_{0}$ называется амплитудой, а величина $\omega_{0} t+\delta-$ фазой колебания. Величину $\delta$ называют начальной фазой. Собственные частоты $\omega_{0}$ и $
u_{0}$, ства колебательной системы. Напротив, амплитуда $q_{0}$ и начальная фаза $\delta$ определяются не самой колебательной системой, а начальными условиями.

Для электрических колебаний собственная частота определяется формулой (122.7). Поэтому
\[
T_{0}=2 \pi \sqrt{L C} .
\]

Эта формула называется формулой Вильяма Томсона.
Если по оси абсцисс откладывать время, а по оси ординат – значение колеблющейся величины $q$, то получится синусоида (рис. 275). Это – периодическая кривая, значения ее ординат периодически повторяются через период $T_{0}$. Амплитуда $q_{0}$ есть максимальное отклонение величины $q$ от ее нулевого значения.

Рис. 275
Ток при электрических колебаниях найдется дифференцированием выражения (123.2):
\[
I=\dot{q}=-\omega_{0} q_{0} \sin \left(\omega_{0} t+\delta\right)
\]

или
\[
I=\omega_{0} q_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\delta+\pi / 2\right) .
\]

Отсюда видно, что колебания тока $I$ опережают по фазе колебания заряда $q$ на $\pi / 2$. Электрическая и магнитная энергии определяются выражениями
\[
\begin{array}{c}
W_{e}=\frac{q^{2}}{2 C}=\frac{q_{0}^{2}}{2 C} \cos ^{2}\left(\omega_{0} t+\delta\right), \\
W_{m}=\frac{1}{2} L I^{2}=\frac{1}{2} L \omega_{0}^{2} q^{2} \sin ^{2}\left(\omega_{0} t+\delta\right)=\frac{q_{0}^{2}}{2 C} \sin ^{2}\left(\omega_{0} t+\delta\right) .
\end{array}
\]

Представим их в виде
\[
\begin{aligned}
W_{e} & =\frac{q_{0}^{2}}{4 C}+\frac{q_{0}^{2}}{4 C} \cos \left(2 \omega_{0} t+\delta\right), \\
W_{m} & =\frac{q_{0}^{2}}{4 C}-\frac{q_{0}^{2}}{4 C} \cos \left(2 \omega_{0} t+\delta\right) .
\end{aligned}
\]

Средние значения этих величин одинаковы и равны
\[
\bar{W}_{e}=\bar{W}_{m}=\frac{q_{0}^{2}}{4 C}=\frac{1}{4} L I_{0}^{2} .
\]

Около этих средних значений величины $W_{e}$ и $W_{m}$ совершают гармонические колебания с круговой частотой $2 \omega_{0}$. Непрерывно происходит переход электрической энергии в магнитную и обратно. Когда электрическая энергия достигает максимума, магнитная обращается в нуль, и наоборот. Полная энергия
\[
W=W_{e}+W_{m}=\frac{q_{0}^{2}}{2 C}
\]

остается постоянной, как и должно быть по закону сохранения энергии. Она, как видно из формулы (123.6), пропорциональна квадрату амллитуды. Это справедливо и для механических гармонических колебаний.
3. В заключение точно сформулируем условие квазистационарности, выполнение которого предполагалось при рассмотрении всех колебаний в колебательном контуре. Квазистационарность означает, что мгновенные значения тока $I$ практически одинаковы на всех участках проводов, соединяющих обкладки конденсатора. Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электродинамических взаимодействий можно было считать мәновенным. Такие взаимодействия распространяются со скоростью, которая по порядку величины совпадает со скоростью света в вакууме $c$. Обозначим через $l$ длину провода, соединяющего обкладки конденсатора (практически эта величина совпадает с длиной провода, из которого изготовлена обмотка катушки самоиндукции). На прохождение длины $l$ электромагнитное возмущение затрачивает время порядка $\tau=l / c$. Условие квазистационарности будет выполнено, если $\tau \ll T_{0}$ или
\[
l \ll \lambda,
\]

где $\lambda$ – длина электромагнитной волны в вакууме:
\[
\lambda=c T_{0} .
\]

ЗАДАЧА
Полностью ионизованная плазма, состоящая из электронов и положительных ионов, ограничена двумя параллельными плоскостями (рис. 268). Если все электроны сместить вдоль оси $X$ (выбранной перпендикулярно к этим плоскостям), то возникнет сила, возвращающая их в положение равновесия. В плазме начнутся колебания. Они называются плазменными колебаниями. Определить их характер и собственную частоту. «Тяжелые» ионы можно считать неподвижными.

Решение. Если смещение электрона из положения равновесия равно $x$, то электрическое поле, возникающее в плазме, будет $E=4 \pi n e x$, а сила, действующая на электрон, $F=-4 \pi n e^{2} x$. Под действием этой силы электроны будут совершать гармонические колебания с круговой частотой
\[
\omega_{0}=\sqrt{\frac{4 \pi n e^{2}}{m}},
\]

называемой плазменной частотой.