1. Размеры атомных ядер и электронов примерно в сто тысяч раз меньше размеров самих атомов. На долю заряженных частиц приходится ничтожная (примерно $10^{-15}$ ) часть занимаемого телом пространства. Весь остальной объем тела составляет вакуум. Атомные ядра и электроны возбуждают в нем электромагнитные поля. Поле в промежутках между атомами и электронами, а также внутри этих частиц необычайно сложно меняется в пространстве и во времени. Такое поле называется микроскопическим, или, короче, микрополем. Столь же сложно меняется плотность распределения электричества. Она очень велика внутри атомных ядер и электронов и обращается в нуль в промежутках между ними. Такая плотность также называется микроскопической, или микроплотностъю. Микроскопические величины обозначаются посредством $K_{\text {микро }}, \rho_{\text {микро }}$ и т. п. Их нельзя измерить путем внесения в вещество пробного заряда. Наименьшим зарядом является элементарный заряд $e$ (заряд электрона). А такой заряд существенно исказил бы микрополе и распределение электричества в атомной системе. Таким образом, введение $\mathbf{E}_{\text {микро }}, \rho_{\text {микро }}$ и прочих микроскопических величин встречает определенную трудность принципиального порядка. Можно поставить под сомнение принципиальную возможность самого описания поля с помощью микроскопических величин типа $\mathbf{E}_{\text {микро }}, \rho_{\text {микро }}$ и т. п. Тем не менее классическая физика допускает такую возможность. X.А. Лоренц показал, как, исходя из представления о микрополе, можно прийти к уравнениям для описания макроскопических процессов в телах. Такой подход к макроскопическим уравнениям электродинамики принят и в настоящем руководстве. Разумеется, справедливость макроскопических уравнений электродинамики еще не означает, что полностью верна и та микрокартина, которая была положена в основу вывода этих уравнений.
2. Задание микроскопических величин в каждой точке пространства и в каждый момент времени дало бы наиболее детальное классическое описание поля. Однако практически (а может быть, и принципиально) оно неосуществимо. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым пользуется макроскопическая электродинамика. Она отвлекается от атомистического строения электричества и связанных с ним мелкомасштабных изменений поля, происходящих на ядерных и атомных расстояниях. Она принимает во внимание только изменения поля на макроскопических расстояниях. Она оперирует со сглаженными полями и распределениями электричества, плавно меняющимися в пространстве и во времени. Такие поля называются средними, или макроскопическими полями (короче, макрополями). Напряженность электрического макрополя будем обозначать посредством $\mathbf{E}_{\text {микро }}$, или, короче, $\mathbf{E}$.

Описание поля в веществе посредством величин типа $\mathbf{E}_{\text {микро }}, \rho_{\text {микро }}$ и т. д. аналогично детальному механическому описанию движения вещества, в котором указывается положение и скорость каждой молекулы и составляющих ее частиц в любой момент времени. Описание с помощью макроскопических величин, напротив, аналогично гидродинамическому рассмотрению движения жидкости как сплошной среды. При таком рассмотрении распределение вещества в пространстве характеризуется его объемной плотностью, а движение – скоростью гидродинамического потока $\mathbf{v}$ как непрерывными функциями времени и пространственных координат. Молекулярные силы учитываются также суммарно – посредством внутренних давлений и касательных напряжений, возникающих при движении жидкости.

Дадим теперь более точное количественное определение макроскопического поля $\mathbf{E}$. Под $\mathbf{E}$ мы будем понимать микрополе $\mathbf{E}_{\text {микро }}$, усредненное по физически бесконечно малым объемам пространства. Чтобы вычислить макроскопическое поле $\mathbf{E}$ в какой-либо точке пространства, надо взять физически бесконечно малый объем $V$, внутри которого находится эта точка, проинтегрировать вектор $\mathbf{E}_{\text {микро }}$ по этому объему и значение интеграла разделить на объем $V$ :
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{V} \int_{V} \mathbf{E}_{\text {микро }} d V .
\]

Так же определяется макроскопическая плотность $\bar{\rho}=\left\langle\rho_{\text {микро }}\right\rangle$ и любая другая макроскопическая величина. Результат вычисления практически не должен зависеть от величины и формы объема $V$. Для этого необходимо, чтобы внутри объема $V$ содержалось еще очень много атомов. В то же время объем $V$ должен быть настолько малым, чтобы с ним, а также с любыми линейными размерами его можно было обращаться, как с математическими дифференциалами. Объемы $V$, удовлетворяющие обоим этим условиям, и называются физически бесконечно малыми. Усреднение по таким объемам в смысле операции (10.1) сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения его на макроскопических расстояниях.
3. Уравнения макроскопического поля могут быть получены из уравнений для микроскопического поля. Если те и другие уравнения представить в дифференциальной форме, то возникает вопрос: как связаны между собой производные обоих полей? На этот вопрос отвечает математическая формула
\[
\frac{\partial\langle A\rangle}{\partial x}=\left\langle\frac{\partial A}{\partial x}\right\rangle .
\]

Она утверждает, что усреднение и дифференцирование по координате можно переставлять местами. То же справедливо и для дифференцирования по времени. Для доказательства запишем формулу типа (10.1) более подробно:
\[
\langle A(\mathbf{r})\rangle=\frac{1}{V} \int A\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d V^{\prime} .
\]

В соседней точке
\[
\langle A(\mathbf{r}+\Delta \mathbf{r})\rangle=\frac{1}{V} \int A\left(\mathbf{r}^{\prime}+\Delta \mathbf{r}^{\prime}\right) d V^{\prime} .
\]

Поскольку результат усреднения не зависит от величины и формы области интегрирования, последнюю мы выбрали одинаковой в обоих случаях. Элементы объема также можно выбрать одинаковыми. Тогда
\[
\langle A(\mathbf{r}+\Delta \mathbf{r})\rangle-\langle A(\mathbf{r})\rangle=\frac{1}{V} \int_{V}\left[A\left(\mathbf{r}^{\prime}+\Delta \mathbf{r}\right)-A\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right] d V^{\prime} .
\]

Выберем теперь вектор $\Delta \mathrm{r}$ так, чтобы он был параллелен оси $X$, т.е. положим $\Delta \mathbf{r}=\mathbf{i} \Delta x$. Разделив последнее соотношение на $\Delta x$ и перейдя к пределу $\Delta x \rightarrow 0$, получим
\[
\frac{\partial\langle A\rangle}{\partial x}=\frac{1}{V} \int_{V} \frac{\partial A\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}} d V^{\prime},
\]

а это и есть формула (10.2). Аналогично, дифференцируя выражение (10.3) по времени как параметру, найдем
\[
\frac{\partial\langle A\rangle}{\partial t}=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle .
\]

Примем теперь, что для микроскопического поля справедлива теорема Гаусса в виде
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}_{\text {микро }}=4 \pi \rho_{\text {микро }} .
\]

Усредняя это соотношение и принимая во внимание, что $\left\langle\operatorname{div} \mathbf{E}_{\text {микро }}\right\rangle=$ $=\operatorname{div}\left\langle\mathbf{E}_{\text {микро }}\right\rangle \equiv \operatorname{div} \mathbf{E}$, получим
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=4 \pi \bar{\rho},
\]

где $\bar{\rho}-$ средняя (макроскопическая) плотность электричества в веществе, т. е. $\bar{\rho}=\left\langle\rho_{\text {микро }}\right\rangle$. Это – дифференциальная форма теоремы Гаусса в веществе. Она справедлива не только в электростатике, но и во всей макроскопической электродинамике.
4. При рассмотрении электрических явлений в веществе очень важно иметь правильное представление о порядке величин сил, действующих между протонами и электронами. Эти силы очень велики по сравнению с гравитационными силами притяжения между теми же частицами. Вычислим, например, отношение силы электрического отталкивания двух протонов $F_{e}$ к силе их гравитационного притяжения $F_{g}$. Заряд протона $e=4,8 \cdot 10^{-10}$ СГСЭ-ед. заряда, масса $m_{\mathrm{p}}=$ $=1,67 \cdot 10^{-24}$ г. Используя эти данные, найдем
\[
\frac{F_{e}}{F_{g}}=\frac{e^{2}}{G m_{\mathrm{p}}^{2}}=1,24 \cdot 10^{36},
\]

где $G=6,67 \cdot 10^{-8}$ дин $\cdot \mathrm{cm}^{2} / \Gamma^{2}-$ гравитационная постоянная. Значение этого отношения не зависит от расстояния между взаимодействующими частицами, так как обе силы $F_{e}$ и $F_{g}$ меняются обратно пропорционально квадрату этого расстояния. Масса электрона $m_{\mathrm{e}}=$ $=9,11 \cdot 10^{-28}$ г, т.е. в 1836 раз меньше массы протона. Поэтому для электронов отношение рассматриваемых сил в $1836^{2}$ раз больше и составляет $4,17 \cdot 10^{42}$.

Что было бы, если бы Земля потеряла все свои электроны? Число протонов в Земле практически равно числу нейтронов. Поэтому каждый протон отталкивался бы от Земли с силой, превышающей его собственный вес приблизительно в $(1,24 / 2) \cdot 10^{36}=0,62 \cdot 10^{36}$ раз. Эта сила равна весу груза в миллион тонн! Столь чудовищно большие силы не проявляются только потому, что в обычных условиях тела электрически нейтральны. Положительные заряды атомных ядер почти полностью скомпенсированы отрицательными зарядами электронов. При электризации тел нарушения такой компенсации ничтожны. Допустим, например, что шарику с радиусом $a=1$ см сообщен заряд $q=100$ СГСЭ-ед. $=(1 / 3) \cdot 10^{-7}$ Кл. Это довольно большой заряд. (Напряженность поля у поверхности шарика составит $E=q / a^{2}=$ $=100$ СГСЭ-ед. $=30000 \mathrm{~B} /$ см. А при разности потенциалов 30000 В между металлическими шариками такого размера в сухом воздухе проскакивает электрическая искра, если расстояние между ними 1 см и шарики находятся в воздухе при нормальных давлении и температуpe.) Если заряд $q$ положителен, то для такой электризации от шарика надо отнять $n_{\mathrm{e}}=q / e \approx 2 \cdot 10^{11}$ электронов. Пусть масса шарика $M=$ $=30$ г. Тогда сумма содержащихся в нем протонов и нейтронов будет
\[
N_{\mathrm{p}}+N_{\mathrm{n}}=\frac{M}{m_{\mathrm{p}}}=\frac{30}{1,67 \cdot 10^{-24}} \approx 2 \cdot 10^{25} .
\]

Превышение протонов над электронами ничтожно и составляет всего $n_{\mathrm{e}} / n_{\mathrm{p}} \sim 10^{-14}$ от общего числа протонов. Уменьшение массы шарика из-за электризации составляет $n_{\mathrm{e}} m_{\mathrm{e}} \approx 2 \cdot 10^{-16}$ г, т. е. примерно $10^{-17}$ массы самого шарика. Такое уменьшение массы не может быть обнаружено даже на самых чувствительных весах. Допустим теперь, что при электризации электроны были удалены от поверхностного слоя шарика. Оценим его толщину $\delta$. Общее число протонов и нейтронов в слое будет $n_{\mathrm{e}}$, а масса слоя $\Delta M \sim n_{\mathrm{e}} m_{\mathrm{p}} \sim 10^{-13}$ г. Так как $\Delta M / M=$ $=3 \delta / a$, то получаем $\delta \sim 10^{-15}$ см.

5. При внесении тела в электрическое поле легкие электроны испытывают смещения против поля. Смещения атомных ядер по сравнению с ними пренебрежимо малы. Происходит частичное разделение положительных и отрицательных зарядов. В отдельных местах тела появляются макроскопические заряды различных знаков. Это явление называется электрическим смещением, а появившиеся в результате разделения заряды – индукционными зарядами. К возникновению индукционных зарядов и сводится влияние вещества на электрическое поле. Индукционные заряды создают дополнительное электрическое поле, накладывающееся на поле первичных зарядов. Если известны все первичные и индукционные заряды, то при вычислении полного электрического поля можно «забыть» о наличии вещества. Полное поле найдется суперпозицией кулоновых полей, возбуждаемых в вакууме всеми первичными и индукционными зарядами.