1. Пусть в проводящую однородную среду помещены два электрода $A$ и $B$ (рис. 119), электрическая проводимость которых очень велика по сравнению с проводимостью самой среды. В этих условиях изменениями потенциала внутри электродов можно пренебречь, т.е. считать, что все точки каждого электрода находятся при одном и том
Рис. 119

же потенциале. Будем поддерживать потенциалы электродов $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ постоянными. Поставим задачу о нахождении плотности тока, текущего между электродами. Эта задача математически эквивалентна электростатической задаче о поле конденсатора, обкладками которого служат рассматриваемые электроды. Действительно, поскольку токи стационарны, а среда однородна, в ней не могут появиться объемные электрические заряды. Значит, потенциал $\varphi$ во всем пространстве между электродами должен удовлетворять уравнению Лапласа $\Delta \varphi=0$ и принимать заданные значения $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ на электродах $A$ и $B$. Задача об электрическом поле в конденсаторе формулируется в точности так же. Обе задачи математически тождественны и имеют единственные решения. Поэтому, если пространство между электродами $A$ и $B$ заполнить однородным диэлектриком и поддерживать электроды при прежних потенциалах $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, то электрическое поле во всем пространстве вне электродов $A$ и $B$ останется неизменным. Найдя напряженность электрического поля $\mathbf{E}$, можно вычислить затем и плотность тока по формуле $\mathbf{j}=\lambda \mathbf{E}$.

Вычисление полного тока $I$ между электродами – задача еще более простая. Она сводится к вычислению емкости соответствующего конденсатора. Действительно, ток выражается интегралом
\[
I=\oint j_{n} d S=\lambda \oint E_{n} d S,
\]

распространенным по поверхности положительно заряженного электрода $A$. Если задаче о токе сопоставить соответствующую электростатическую задачу, то по теореме Гаусса
\[
\oint E_{n} d S=\frac{4 \pi}{\varepsilon} q=\frac{4 \pi}{3} C\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right),
\]

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость межэлектродного пространства, а $C$ – емкость конденсатора с обкладками $A$ и $B$. Таким образом,
\[
I=\frac{4 \pi C \lambda}{3}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

С другой стороны, по закону Ома
\[
I=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{R},
\]

где $R$ – полное электрическое сопротивление проводящей среды между электродами $A$ и $B$. Сравнивая обе формулы, получаем
\[
R=\frac{\varepsilon}{4 \pi C \lambda},
\]

после чего находим ток $I$. Как и следовало ожидать, сопротивление $R$ не зависит от $\varepsilon$, так как емкость конденсатора $C$ сама пропорциональна $\varepsilon$. Не меняя результата, можно было бы взять $\varepsilon=1$.
Приведем конкретные примеры.
1) Электродами служат концентрические сферы с радиусами $a$ и $b$. Используя формулу (26.5), получим
\[
R=\frac{1}{4 \pi \lambda}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) .
\]
2) Электродами являются поверхности коаксиальных цилиндров с высотой $l$ и радиусами $a$ и $b$. Формулы (46.1) и (26.7) дают
\[
R=\frac{1}{2 \pi \lambda l} \ln \frac{b}{a} .
\]
3) Электродами являются два шарика радиуса $a$, удаленные друг от друга на большое расстояние. В этом случае
\[
R=\frac{1}{2 \pi \lambda a} .
\]

Сопротивление $R$ не зависит от расстояния между шариками. Это объясняет результат, эмпирически найденный телеграфистами, обнаружившими, к своему удивлению, что сопротивление земли между телеграфными станциями не зависит от расстояния между ними.
2. Рассмотрим задачу о сопротивлении заземления в более общей постановке. На рис. 120 схематически изображены две станции 1 и 2. Связь между ними осуществляется проводом 12. Другим проводом слу-
Рис. 120

жит земля. Вблизи каждого из заземленных металлических тел (электродов) $A$ и $B$ почва может считаться однородной средой с удельными проводимостями $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Будем предполагать, что электроды $A$ и $B$ зарыты глубоко, так что влиянием границы между землей и атмосферой на общий ток, текущий между электродами, можно пренебречь. Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ – емкости электродов $A$ и $B$, какими они были бы, если бы электроды были уединены и находились в вакууме. Ток $I$, стекающий с положительного электрода $A$, зависит только от его потенциала $\varphi_{1}$ и электрической проводимости почвы в окрестности этого электрода. Он практически не зависит от свойств удаленных областей окружающей среды, а потому при вычислении $I_{1}$ электрическую проводимость всей среды можно считать постоянной и равной $\lambda_{1}$. Если потенциал бесконечно удаленных точек условиться считать равным нулю, то на основании формулы (46.1) можно написать
\[
I_{1}=\frac{\varphi_{1}}{R_{1}}=4 \pi C_{1} \lambda_{1} \varphi_{1} .
\]
(Мы приняли $\varepsilon=1$.) Аналогично, для тока $I_{2}$, текущего к отрицательному электроду $B$, получаем
\[
I_{2}=-\frac{\varphi_{2}}{R_{2}}=-4 \pi C_{2} \lambda_{2} \varphi_{2} .
\]

Станции 1 и 2 соединены между собой проводом 12 , а потому $I_{1}=I_{2}=$ $=I$. Используя это, из предыдущих формул находим
\[
\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{I}{4 \pi}\left(\frac{1}{\lambda_{1} C_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2} C_{2}}\right),
\]

откуда следует, что сопротивление заземления равно
\[
R=\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{1}{\lambda_{1} C_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2} C_{2}}\right) .
\]

В выводе нигде не предполагалось, что весь ток с электрода $A$, текущий по земле, попадает на электрод $B$. Такое утверждение неправильно, хотя оно не отразилось бы на формуле (46.5). Было использовано только равенство токов $I_{1}$ и $I_{2}$, а оно обеспечивается тем, что электроды $A$ и $B$ соединены между собой проводом. Формула (46.5) показывает, что для получения хорошего заземления электроды $A$ и $B$ должны быть больших размеров. Кроме того, окружающая их почва должна обладать хорошей электрической проводимостью.
ЗАДАЧА
Имеется $n$ идеально проводящих тел в вакууме с зарядами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и потенциалами $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}$. Какое количество теплоты будет выделяться ежесекундно, если пространство между этими телами заполнить однородной жидкостью с электрической проводимостью $\lambda$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, а потенциалы тел поддерживать при прежних значениях?

Решение. При заполнении пространства проводящей жидкостью электрическое поле между телами не изменится. Количество же ежесекундно выделяющейся теплоты определится выражением $Q=\sum I_{k} \varphi_{k}$. Ток, текущий с поверхности $k$-го проводника,
\[
I_{k}=\oint j_{N} d S
\]

где $N$ – наружная нормаль к этой поверхности. Заряд на поверхности $k$-го проводника
\[
q_{k}=\frac{1}{4 \pi} \oint D_{N} d S=\frac{\varepsilon}{4 \pi} \oint E_{N} d S .
\]

В результате находим
\[
Q=\frac{4 \pi \lambda}{\varepsilon} \sum q_{k} \varphi_{k}
\]