1. Из соотношения (5.5) мы получили граничное условие (6.9), которому должны удовлетворять нормальные составляющие вектора $\mathbf{E}$ на заряженной поверхности. Поступая совершенно так же, из теоремы Гаусса для диэлектриков (13.4) получаем следующее условие на границе раздела двух диэлектриков:
\[
D_{2 n}-D_{1 n}=4 \pi \sigma,
\]

где $\sigma$ – поверхностная плотность свободных зарядов на этой границе.
Отличие формулы (14.1) от аналогичной формулы (6.9) обусловлено влиянием поляризационных зарядов, появляющихся на границе диэлектриков. Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна $\sigma_{\text {пол }}=P_{1 n}-P_{2 n}$ (рис. 46). Учитывая ее, получаем $E_{2 n}-E_{1 n}=4 \pi(\sigma+$ $\left.+\sigma_{\text {пол }}\right)$, или
\[
\left(E_{2 n}+4 \pi P_{2 n}\right)-\left(E_{1 n}+4 \pi P_{1 n}\right)=4 \pi \sigma,
\]

а эта формула тождественна с (14.1).
В частности, вектор электрического смещения в диэлектрике на границе с проводником определяется выражением
\[
\mathbf{D}=4 \pi \sigma \mathbf{n} .
\]

Здесь единичная нормаль $\mathbf{n}$ проведена от металла к диэлектрику.

Если на границе раздела нет свободных зарядов, то
\[
D_{1 n}=D_{2 n} .
\]

Таким образом, при переходе через незаряженную границу двух диэлектриков нормальная составляющая вектора $\mathbf{D}$ остается
Рис. 46
непрерывной. Что касается вектора $\mathbf{E}$, то на любой границе остаются
непрерывными его тангенциальные составляющие:
\[
E_{1 t}=E_{2 t} .
\]

Это утверждение доказывается так же, как и для поля в вакууме (см. §6, а также § 17).
2. Пользуясь граничными условиями (14.4) и (14.5), можно указать принципиальный способ измерения векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ в диэлектрике. Обычный метод измерения $\mathbf{E}$ по силе, действующей на пробный заряд, годится для поля в вакууме, а к веществу применим не всегда. Дело в том, что выражение для действующей силы $\mathbf{F}=q \mathbf{E}$ справедливо в вакууме, а в веществе в лучшем случае является приближенным. Кроме того, внесение пробного заряда в вещество может оказаться просто невозможным, например при необходимости измерить напряженность или электрическое смещение поля в твердом диэлектрике. Единственный принципиалъный способ измерения векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ внутри среды, пригодный во всех случаях, состоит в том, чтобы в теле сделать полость и внести в нее пробный заряд. Однако измеренное таким путем поле, вообе говоря, не будет совпадать ни с вектором E, ни с вектором D. Результат зависит от формы полости. Только для полостей специальной формы измерение непосредственно дает E и D. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Полость имеет форму очень длинного и тонкого цилиндрического канала, параллельного полю $\mathbf{E}$ (рис. 47). Количество вещества внутри канала бесконечно мало. Его удаление из этого канала меняет электрическое поле в окружающем диэлектрике бесконечно мало. На концах канала появляются лишь поляризационные заряды, влияние Рис. 47 которых на электрическое поле вдали от этих концов пренебрежимо мало. Из соображений симметрии следует, что поле в канале $\mathbf{E}_{0}$ параллельно наружному полю $\mathbf{E}$. Поэтому из граничного условия (14.5) получаем $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0}$. Таким образом, измерение $\mathbf{E}$ сводится к измерению $\mathbf{E}_{0}$.

Случай 2. Полость имеет форму бесконечно короткого цилиндра с основаниями, перпендикулярными к вектору D (рис. 48). Как и в предыдущем случае, удаление вещества из такой бесконечно малой полости сказывается на поле в окружающем диэлектрике также бесконечно мало. Действительно, на границах полости появляются поляризационные заряды противоположных знаков. Вне полости поля этих зарядов почти полностью компенсируют друг друга. Однако внутри полости поля поляризационных зарядов усиливают друг друга, что существенно меняет поле в полости. Внутри полости электрическое поле $\mathbf{E}_{0}$,
Рис. 48
ввиду симметрии, перпендикулярно к ее осно-

Рис. 48 ваниям. В полости напряженность и индукция поля совпадают ( $\mathbf{E}_{0}=$ $=\mathbf{D}_{0}$ ). Поэтому из граничного условия (14.4) получаем $\mathbf{D}=\mathbf{E}_{0}$. Измерение $\mathbf{D}$ сводится к измерению $\mathbf{E}_{0}$.