1. Колебаниями в физике называют не только периодические или почти периодические движения тел, когда колеблющееся тело многократно повторяет одно и то же движение туда и обратно около определенного положения равновесия, а придают этому понятию более широкий смысл. Под колебанием понимают всякий периодический или приблизительно периодический процесс, в котором значения той или иной физической величины повторяются точно или приближенно через равные или приблизителъно равные промежутки времени.

Допустим, например, что прямоугольная рамка (рис. 270) равномерно вращается в постоянном однородном магнитном поле с постоянной угловой скоростью $\omega$. Если $S$ – площадь рамки, то пронизывающий ее магнитный поток будет $\Phi=B S \cos \alpha$, где $\alpha$ – угол между направлением вектора магнитной индукции В и нормалью к плоскости рамки N. При равномерном вращении $\alpha=\omega t, \Phi=$ $=\Phi_{0} \cos \omega t$, где $\Phi_{0}=B S$. В рамке возбуждается электродвижущая сила $\mathscr{E}_{\text {инд }}=-d \Phi / d t=\mathscr{E}_{0} \sin \omega t$ и электрический ток $I=I_{0} \sin \omega t$, где $\mathscr{E}_{0}$ и $I_{0}-$ постоянные. Все эти выражения описывают колебательный процесс, в котором колеблющимися величинами являются магнитный поток $\Phi$, электродвижущая сила $\mathscr{E}$ и электрический ток $I$.

Специфические закономерности колебательных явлений, определяющие не мгновенные значения колеблющихся величин, а характеризующие колебательный процесс в целом, не зависят от того, какова физическая природа величин, совершающих колебания. Такие закономерности изучает теория колебаний, характеризующаяся единым подходом к колебаниям различной физической природы. В дальней-

Рис. 270 шем эта особенность колебательных закономерностей будет проиллюстрирована на конкретных примерах.

В настоящей главе будут изучаться преимущественно электрические колебания. Однако для лучшего понимания этих явлений мы будем сопоставлять их с аналогичными колебаниями механических систем.
2. Изучение электрических колебаний мы начнем с вывода уравнения колебателъного контура. Так называется система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора, катушки самоиндукции $L$ и проводника с омическим сопротивлением $R$ (рис. 271). Внешняя электродвижущая сила создает между полюсами 1 и 2 определенное напряжение $\mathscr{E}$, вообще говоря, меняющееся с течением времени. Одно из направлений при обходе контура тока примем за положительное. Оно обозначено на рис. 271 стрелками. Ток считается положительным, если он течет по контуру в положительном направлении, и отрицательным в противоположном случае. Обозначим через $q$ заряд той из обкладок конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением контура 13421. Применим к этому контуру уравнение Максвелла
Рис. 271
\[
\int E_{l} d l=-\frac{d \Phi}{d t} .
\]

Мы пользуемся практическими единицами, которые при рассмотрении электрических колебаний более удобны. Пусть выполнено условие квазистационарности. Тогда, применяя к участку 13 закон Ома, найдем
\[
\int_{13} E_{l} d l=\int \frac{j}{\lambda} d l=I \int \frac{d l}{S \lambda}=R I,
\]

где $R$ – омическое сопротивление этого участка. Если сопротивление участка 42 пренебрежимо мало, то интеграл по пути 32 равен напряжению $V$ между обкладками конденсатора. Для квазистационарных процессов
\[
\int_{32} E_{l} d l=V=\frac{q}{C} .
\]

Наконец, интеграл $\int_{21} E_{l} d l=-\int_{12} E_{l} d l$ есть подводимое напряжение между полюсами 1 и 2 , взятое с противоположным знаком:
\[
\int_{21} E_{l} d l=-\mathscr{E}
\]

В результате уравнение (122.1) примет вид
\[
\frac{d \Phi}{d t}+R I+\frac{q}{C}=\mathscr{E} .
\]

Для квазистационарных токов $\Phi=L I$. Кроме того,
\[
I=\frac{d q}{d t},
\]

так что
\[
\frac{d}{d t}\left(L \frac{d q}{d t}\right)+R \frac{d q}{d t}+\frac{q}{C}=\mathscr{E} .
\]

Это и есть уравнение колебательного контура. Если катушка самоиндукции не деформируется ( $L=\mathrm{const}$ ), оно переходит в
\[
L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{q}{C}=\mathscr{E} .
\]

Механическим аналогом (122.5) может служить уравнение движения груза на пружине (рис. 272). Если справедлив закон Гука (1635-1703), а при движении груза возникает тормозящая сила $-\alpha \dot{x}$, пропорциональная скорости $\dot{x}$, то уравнение движения имеет вид
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x-\alpha \dot{x}+F
\]

или
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\alpha \dot{x}+k x=F,
\]

где $x$ – отклонение груза из положения равновесия, считаемое положительным, если оно направлено вниз. Величина $-k x$ есть восстанавливающая сила, равная сумме ве-
Рис. 272
са тела и силы натяжения пружины, $F$ – результирующая всех прочих сил, действующих на груз. Это уравнение отличается от (122.5) только обозначениями и физическим смыслом входящих в него величин. Математически оба уравнения тождественны. В уравнении (122.5) роль отклонения $x$ играет заряд конденсатора $q$; массы $m$ – самоиндукция $L$; коэффициента сопротивления $\alpha$ – электрическое сопротивление $R$; коэффициента упругости пружины $k$ – величина, обратная емкости, $1 / C$; внешней силы $F$ – внешняя электродвижущая сила $\mathscr{E}$. Одинаковые уравнения должны иметь и одинаковые решения. Заметив это, допустим, что в уравнении (122.6) $F=0$, а коэффициент сопротивления $\alpha$ мал. Тогда, как хорошо известно из повседневного опыта, при отклонении груза из положения равновесия или сообщении ему толчка в вертикальном направлении возникнут колебания, слабо затухающие во времени. При $\alpha=0$ затухания совсем не будет. Из математической тождественности уравнений (122.5) и (122.6) следует, что возникнут электрические колебания, если заряженный конденсатор замкнуть через катушку самоиндукции. При этом заряд конденсатора $q$ будет меняться во времени по тому же закону, что и отклонение груза из положения равновесия. Если нет омического сопротивления, то электрические колебания в колебательном контуре будут незатухающими. При наличии сопротивления $R$ колебания затухают.
3. И без обращения к уравнениям и механической аналогии нетрудно понять, почему в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания. Для простоты будем считать, что электрическое сопротивление колебательного контура равно нулю. Пусть в начальный момент верхняя пластинка конденсатора заряжена положительным электричеством, нижняя – отрицательным, а ток в колебательном контуре равен нулю (рис. $273 a$ ). В этот момент вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. При отсутствии
Рис. 273

внешних электродвижущих сил конденсатор начнет разряжаться, через катушку самоиндукции потечет электрический ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки самоиндукции. Этот процесс закончится, когда заряд конденсатора обратится в нуль, а ток в контуре достигнет максимума (рис. 273 б). Начиная с этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он не сразу упадет до нуля, так как этому препятствует электродвижущая сила индукции. Ток будет заряжать нижнюю пластинку конденсатора положительно, а верхнюю – отрицательно. Возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. В конце концов ток обратится в нуль, а заряд на конденсаторе достигнет максимума (рис. 273 в). Тогда заряды на пластинках конденсатора по абсолютной величине станут такими же, что и в исходном положении $a$, только знаки их будут противоположными. С этого момента конденсатор начнет разряжаться вновь – по проводам потечет ток в направлении, противоположном направлению тока в положении б. В момент максимума тока (рис. 273 г) конденсатор разрядится, а затем колебательный контур вернется в исходное состояние $a$. После этого описанный цикл разрядки и зарядки конденсатора повторится снова. И если бы не было потерь энергии, то такое повторение происходило бы неограниченно долго – в контуре совершались бы строго периодические незатухающие электрические колебания.
4. Уравнения (122.5) и (122.6) – дифференциальные уравнения второго порядка. Если «внешних сил» $\mathscr{E}$ или $F$ нет, то уравнения линейны $u$ однородны относительно неизвестных $q$ или $x$ и их производных по времени. Они описывают так называемые свободные колебания. Колебательные системы, свободные колебания которых описываются линейными уравнениями, называются линейными колебательными системами. Введем обозначения:
\[
\begin{array}{c}
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C} \text { или } \omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}, \\
2 \gamma=\frac{R}{L} \text { или } 2 \gamma=\frac{\alpha}{m},
\end{array}
\]

Уравнение колебательного контура
517
\[
X=\frac{\mathscr{E}}{C} \text { или } X=\frac{F}{m} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\ddot{q}+2 \gamma \dot{q}+\omega_{0}^{2} q=X, \\
\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=X .
\end{array}
\]

Величина $\omega_{0}$ называется собственной частотой колебательной систев дальнейшем.
5. Уравнение (122.5) можно переписать в виде
\[
V_{L}+V_{R}+V_{C}=V_{\mathrm{Bx}},
\]

где $V_{L}, V_{R}, V_{C}$ – напряжения на катушке самоиндукции, омическом сопротивлении и конденсаторе, а $V_{\text {вх }}$ – входное напряжение, подводимое к колебательному контуру. Как видно из (122.5), эти величины связаны соотношениями
\[
V_{R}=R \frac{d q}{d t}=C R \frac{d V_{C}}{d t}, \quad V_{L}=L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}=\frac{L}{R} \frac{d V_{R}}{d t} .
\]

На этих соотношениях основано применение электрических схем для автоматического дифференцирования и интегрирования. Соответствующие устройства называются дифференцирующими и интегрирующими ячейками. Допустим, например, что конденсатора в цепи нет. Тогда (122.5) запишется в виде
\[
V_{L}+V_{R}=V_{\mathrm{Bx}},
\]

причем $V_{L}=\frac{L}{R} \frac{d V_{R}}{d t}$, т.е. напряжение на самоиндукции с точностью до числового множителя равно производной от напряжения на сопротивлении $R$. Если параметры $L$ и $R$ подобрать так, чтобы было выполнено условие $\left|V_{L}\right| \ll\left|V_{\mathrm{Bx}}\right|$, то $V_{R} \approx V_{\mathrm{Bx}}$ и, следовательно, $V_{L}=\frac{L}{R} \frac{d V_{\mathrm{вx}}}{d t}$. Подадим на осциллограф напряжение с катушки самоиндукции. Тогда получится осциллограмма, представляющая производную входного напряжения. Аналогичная $R L$-ячейка может быть использована и для интегрирования. Действительно, $V_{R}=\frac{R}{L} \int V_{L} d t$. Подберем параметры $R$ и $L$ так, чтобы было $\left|V_{R}\right| \ll\left|V_{L}\right|$. Тогда приближенно $V_{L}=V_{\text {вх }}$ и, следовательно, $V_{R}=\frac{R}{L} \int V_{\text {вх }} d t$. Подавая на осциллограф напряжение с сопротивления $R$, мы получим осциллограмму, представляющую интеграл от входного напряжения. Аналогично действуют дифференцирующие и интегрирующие $R C$-ячейки.
ЗАДАЧА
Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Это значит, что небольшая часть тока, поступающего на одну из обкладок конденсатора, проходит через диэлектрик на другую обкладку. Емкость конденсатора равна $C$, его сопротивление $R$. Пренебрегая сопротивлением катушки самоиндукции и прочих проводов и предполагая, что выполнено условие квазистационарности, вывести уравнение собственных колебаний колебательного контура.

Найти собственную частоту $\omega_{0}$ и коэффициент затухания $\gamma$.

Решение. При выполнении условия квазистационарности (рис. 274)
\[
\begin{array}{c}
L \frac{d I}{d t}+V=0, \quad Q=C V, \\
\dot{Q}=I-I^{\prime}, \quad V=R I^{\prime} .
\end{array}
\]

Исключая $Q, I$ и $I^{\prime}$, отсюда находим
Рис. 274
\[
\ddot{V}+2 \gamma \dot{V}+\omega_{0}^{2} V=0, \text { где } \omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C}, \gamma=\frac{1}{2 R C} .
\]