1. Сдвиг фаз между током и напряжением влияет на работу и мощность переменного тока. Работа $\delta A$, совершаемая электродвижущей силой $\mathscr{E}$ за время $d t$, определяется выражением $\delta A=\mathscr{E} d q$, где $d q-$ заряд, прошедший через поперечное сечение провода за это время. Мгновенная мощность будет
\[
P=\mathscr{E} \frac{d q}{d t}=\mathscr{E} I .
\]

Поскольку операция умножения нелинейна, пользоваться комплексными выражениями так, как это делалось до сих пор, нельзя. Надо перейти к вещественной форме, т. е. в случае синусоидальных токов положить
\[
\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0} \cos \omega t, \quad I=I_{0} \cos (\omega t-\delta) .
\]

Но обычно проще проводить вычисления в комплексной форме, применяя следующий прием. Обозначим через $\mathscr{E}^{*}$ и $I^{*}$ величины, комплексно сопряженные с $\mathscr{E}$ и $I$. Тогда
\[
\operatorname{Re} \mathscr{E}=\frac{1}{2}\left(\mathscr{E}+\mathscr{E}^{*}\right), \quad \operatorname{Re} I=\frac{1}{2}\left(I+I^{*}\right) .
\]

Подставляя эти вещественные величины в формулу (131.1), получим
\[
P=\frac{1}{4}\left(\mathscr{E} I^{*}+\mathscr{E}^{*} I\right)+\frac{1}{4}\left(\mathscr{E} I+\mathscr{E}^{*} I^{*}\right) .
\]

Здесь уже можно положить $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0} e^{i \omega t}, I=I_{0} e^{i(\omega t-\delta)}$ и воспользоваться формулой $\cos \alpha=\frac{1}{2}\left(e^{i \alpha}+e^{-i \alpha}\right)$. В результате получится
\[
P=\frac{1}{2} \mathscr{E}_{0} I_{0} \cos \delta+\frac{1}{2} \mathscr{E}_{0} I_{0} \cos (2 \omega t-\delta) .
\]

Это выражение, конечно, легко получить и без использования комплексных выражений. Второе слагаемое в последней формуле быстро колеблется во времени с удвоенной частотой $2 \omega$. Среднее значение его по времени равно нулю. Первое слагаемое от времени не зависит и дает среднюю мощность переменного тока:
\[
\bar{P}=\frac{1}{2} \mathscr{E}_{0} I_{0} \cos \delta .
\]

Величины $\mathscr{E}_{0}$ и $I_{0}$ называются амплитудными значениями напряжения и тока. Вместо них в электротехнике чаще употребляют эффективные значения, определяемые выражениями
\[
\mathscr{E}_{\text {эфф }}^{2}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathscr{E}^{2} d t, \quad I_{э ф \phi}^{2}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} d t .
\]

Для синусоидальных токов
\[
\mathscr{E}_{\text {эфф }}=\mathscr{E}_{0} / \sqrt{2}, \quad I_{\text {эфф }}=I_{0} / \sqrt{2} .
\]

С введением этих величин формула для средней мощности переменного тока принимает вид
\[
\bar{P}=\mathscr{E}_{\text {эфф }} I_{\text {эфф }} \cos \delta .
\]
2. Аналогичным образом разность фаз $\delta$ сказывается на взаимодействии переменных токов. Рассмотрим, например, переменные токи $I_{1}$ и $I_{2}$, текущие вдоль бесконечно длинных прямолинейных проводов, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга. Мгновенная сила, действующая на единицу длины каждого провода, определяется выражением
\[
F=\frac{2 I_{1} I_{2}}{c r} \mu .
\]
(Здесь применяется гауссова система единиц.) Если токи $I_{1}$ и $I_{2}$ синусоидальны, а сдвиг фаз между ними равен $\delta$, то для средней силы отсюда находим
\[
\bar{F}=\frac{2 \mu}{c r} I_{1 \text { эфф }} I_{2 \text { эфф }} \cos \delta .
\]

В зависимости от разности фаз $\delta$ средняя сила $\bar{F}$ может быть либо силой притяжения, либо силой отталкивания. Если $\delta=\pi / 2$, то $\bar{F}=0$.

Примером может служить опыт Элиу Томсона, описанный в § 65 . Если $I$ — ток в обмотке электромагнита, то магнитный поток, пронизывающий алюминиевое кольцо, будет $\Phi=L_{12} I$. Допустим, что $I=I_{0} e^{i \omega t}$. Тогда электродвижущая сила индукции в кольце $\mathscr{E}^{\text {ннд }}=$ $=-d \Phi / d t=-i \omega L_{12} I$, а ток
\[
I^{\prime}=-\frac{i \omega L_{12} I}{R+i \omega L} .
\]

Здесь $L$ — индуктивность, а $R$ — омическое сопротивление кольца. Если $R$ пренебрежимо мало по сравнению с индуктивным сопротивлением $\omega L$, то
\[
I^{\prime}=-\frac{L_{12}}{L} I .
\]

Так как коэффициенты $L_{12}$ и $L$ положительны, то фазы токов $I$ и $I^{\prime}$ противоположны: $\delta=\pi$. Средняя сила взаимодействия кольца и электромагнита будет отталкивательной.