1. Пусть в неограниченной однородной среде распространяется без поглощения какое-то электромагнитное возмущение. Отсутствие поглощения означает, что при любом возмущении в среде не выделяется джоулево тепло. Следовательно, величина $\mathbf{j E}=\lambda \mathbf{E}^{2}$ должна обращаться в нуль, каково бы ни было поле Е. Это возможно тогда и только тогда, когда $\lambda=0$, т. е. когда среда является диэлектриком. Допустим, кроме того, что объемных электрических зарядов в среде нет. Тогда уравнения Максвелла примут вид
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\frac{1}{c} \dot{\mathbf{D}}, \quad \operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{1}{c} \dot{\mathbf{B}}, \\
\operatorname{div} \mathbf{D}=0, \quad \operatorname{div} \mathbf{B}=0 .
\end{array}
\]

Рассмотрим частное решение их, когда все величины зависят только от $x$ и $t$. Переходя к координатной форме, получим в этом случае
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial H_{z}}{\partial x}=-\frac{1}{c} \frac{\partial D_{y}}{\partial t}, \quad \frac{\partial H_{y}}{\partial x}=\frac{1}{c} \frac{\partial D_{z}}{\partial t}, \\
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}=-\frac{1}{c} \frac{\partial B_{z}}{\partial t}, \quad \frac{\partial E_{z}}{\partial x}=\frac{1}{c} \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \\
\frac{\partial D_{x}}{\partial x}=\frac{\partial D_{x}}{\partial t}=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}=\frac{\partial B_{x}}{\partial t}=0 .
\end{array}
\]

Из последних четырех уравнений следует, что $D_{x}$ и $B_{x}$ не зависят от $x$ и $t$, т.е. величины постоянные. Это – статические поля, накладывающиеся на переменное поле электромагнитного возмущения. Они не влияют на распространение возмущения и могут быть отброшены без ущерба для общности. Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две группы независимых уравнений. В одну из них входят $y$-составляющие электрического поля и $z$-составляющие магнитного поля, в другую – z-составляющие электрического и $y$-составляющие магнитного поля. Обе эти группы однотипны, а потому можно ограничиться рассмотрением одной из них. В качестве таковой возьмем систему уравнений, содержащую $E_{y}$ и $H_{z}$. С помощью соотношений $\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}$ и $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$ преобразуем ее к виду
\[
\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{\varepsilon}{c} \frac{\partial E}{\partial t}, \quad \frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\mu}{c} \frac{\partial H}{\partial t},
\]

причем мы опустили у полей индексы $y$ и $z$, предполагая, что вектор $\mathbf{E}$ направлен параллельно оси $Y$, а вектор $\mathbf{H}$ – параллельно оси $Z$. Дифференцируя первое уравнение по $t$, а второе по $x$, исключаем $H$ и находим
\[
\frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Аналогично,
\[
\frac{\partial^{2} H}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} H}{\partial t^{2}}=0,
\]

где введено обозначение
\[
v=c / \sqrt{\varepsilon \mu} .
\]

Таким образом, векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению. Это доказывает, что рассматриваемое возмущение состоит из плоских волн, распространяющихся со скоростью $v$ параллельно оси $X$. Возмущение поперечно, т.е. векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ перпендикулярны к оси $X$, вдоль которой происходит распространение. Возьмем волну, распространяющуюся в положительном направлении оси $X$ :
\[
E=f(x-v t), \quad H=g(x-v t) .
\]

Тогда $\partial E / \partial t=-v f^{\prime}, \partial H / \partial x=g^{\prime}$ и после подстановки в первое уравнение (139.3) получится $g^{\prime}=(\varepsilon v / c) f^{\prime}$. Интегрируя это соотношение и опуская постоянные интегрирования (имеющие смысл статических полей, не представляющих интереса в рассматриваемом вопросе), придем к соотношению $g=(\varepsilon v / c) f$, или $H=(v / c) D$. Аналогично поступаем со вторым уравнением (139.3). Таким образом,
\[
H=\frac{v}{c} D, \quad E=\frac{v}{c} B
\]

или в векторной форме
\[
\mathbf{H}=\frac{1}{c}[\mathbf{v D}], \quad \mathbf{E}=-\frac{1}{c}[\mathbf{v B}],
\]

где $\mathbf{v}$ – вектор скорости, с которой распространяется электромагнитное возмущение.

Векторы $\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ (а также векторы $\mathbf{D}, \mathbf{H}, \mathbf{v}$ ) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему. Взаимное расположение их показано на рис. $329 a$. Это правовинтовое соотношение указанных векторов есть внутреннее свойство бегущей электромагнитной волны,
Рис. 329

не зависящее ни от какой координатной системы. Повернем на рис. $329 a$ тройку векторов $\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ вокруг оси $X$ на $90^{\circ}$. Получится расположение, представленное на рис. 329 б. Теперь электрический вектор будет направлен по оси $Z$, а магнитный – по оси $Y$. Такому расположению соответствует вторая группа уравнений, входящая в систему (139.2). Мы видим, что действительно нет необходимости в особом исследовании этой группы. Повернем, далее, тройку векторов $\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ на рис. $329 a$ вокруг оси $Z$ на $180^{\circ}$. Получится расположение, приведенное на рис. 329 в которому соответствует волна, распространяющаяся влево. Таким образом, нет необходимости особо рассматривать и эту волну.
2. Вид функции $f$ (или $g$ ) в плоской бегущей электромагнитной волне зависит от начальных условий и может быть каким угодно. Особо важное значение имеют синусоидальные, или монохроматические, волны. Они могут быть представлены в виде
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} \cos \omega(t-x / v), \quad \mathbf{H}=\mathbf{H}_{0} \cos \omega(t-x / v),
\]

где $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{H}_{0}$ – постоянные, называемые амплитудами волны. Если ввести обозначение
\[
k=\omega / v,
\]

то
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k x), \quad \mathbf{H}=\mathbf{H}_{0} \cos (\omega t-k x) .
\]

Величина $k$ называется волновым числом. Если фиксировать координату $x$, то получатся синусоидальные функции времени, описывающие гармонические колебания с круговой частотой $\omega$. Напротив, если фиксировать время $t$, то получится синусоидальное распределение поля $\mathbf{E}$, в пространстве в рассматриваемый момент времени. Пространственный период поля $\mathbf{E}, \mathbf{H}$ называется длиной волны. Он равен
\[
\lambda=\frac{2 \pi}{k}=\frac{2 \pi v}{\omega}=\frac{v}{
u} .
\]

Можно записать бегущую монохроматическую электромагнитную волну в векторной форме, не содержащей никаких координат. Для этого введем единичный вектор $\mathbf{N}$ нормали к фронту волны $A B$, т. е. к плоскости постоянной фазы $\omega t-k x=$ const. Тогда, как видно из рис. $330, x=(\mathbf{N r})$ и, следовательно, $k x=(\mathbf{k r})$, где $\mathbf{k}=k \mathbf{N}$ – так
Рис. 330
Рис. 331

называемый волновой вектор. В результате получится
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-\mathbf{k r}), \quad \mathbf{H}=\mathbf{H}_{0} \cos (\omega t-\mathbf{k r}),
\]

или в комплексной форме
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} e^{i(\omega t-\mathbf{k r})}, \quad \mathbf{H}=\mathbf{H}_{0} e^{i(\omega t-\mathbf{k r})} .
\]

Здесь $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{H}_{0}$ уже могут быть комплексными, что означает введение начальных фаз. Однако, ввиду соотношений (139.8) или (139.9), в бегущей монохроматической волне электрический и магнитный векторы всегда колеблются в одинаковых фазах. Вид такой волны в пространстве в какой-либо момент времени изображен на рис. 331. Чтобы составить представление об изменении поля во времени, надо вообразить, что весь рисунок равномерно движется вправо со скоростью $v$. Чтобы получить волну, распространяющуюся влево, надо изменить на противоположное направление одного из векторов: $\mathbf{E}$ или $\mathbf{H}$.