1. Вопросы о движении заряженных частиц в электромагнитных полях были уже частично рассмотрены в виде задач к $§ 4$ и 57 . Изучим теперь эти вопросы более систематически. При этом мы исключим из рассмотрения весь материал, относящийся к электронной и ионной оптике. Его предполагается включить в следующий том после изложения геометрической оптики. Не будем также касаться ускорителей и масс-спектрометрии, так как этот материал более уместно изложить в разделе атомной и ядерной физики.

Простейшим случаем является движение частиц в постоянных и однородных электромагнитных полях.
2. В постоянном электрическом поле на частицу с зарядом $e$ действует сила $\mathbf{F}=e \mathbf{E}$. Если движение не релятивистское, а поле однородно, то частица движется с постоянным ускорением $\mathbf{a}=e \mathbf{E} / m$. Такое движение вполне аналогично движению частицы в постоянном однородном гравитационном поле. В общем случае траекторией движения будет парабола. Для релятивистских движений масса частицы $m$ возрастает со скоростью $v$, а ускорение убывает. Разбор этого случая дается в задаче, помещенной в конце этого параграфа.
3. В постоянном магнитном поле на заряженную частицу действует сила $\mathbf{F}_{m}=(e / c)[\mathbf{v B}]$. Эта сила перпендикулярна к скорости $\mathbf{v}$, а потому работы не производит. Она только искривляет траекторию, но не изменяет абсолютную величину скорости частицы. Не меняется, следовательно, и релятивистская масса частицы $m$.

Допустим теперь, что магнитное поле не только постоянно, но и однородно. Если скорость частицы направлена вдоль поля $\mathbf{B}$, то сила $\mathbf{F}_{m}$ обратится в нуль. Частица будет двигаться прямолинейно с постоянной скоростью, магнитное поле не влияет на движение частицы, если последнее происходит вдоль поля.

Если же частица движется перпендикулярно к магнитному полю, то ее скорость, оставаясь постоянной по абсолютной величине, меняется по направлению. Сила $\mathbf{F}_{m}=(e / c)[\mathbf{v B}]$ также постоянна по абсолютной величине и нормальна к траектории частицы. Отсюда следует, что траекторией частицы будет окружность, плоскость которой перпендикулярна к магнитному полю. Направление вращения частицы по окружности показано на рис. 195 (магнитное поле направлено к читателю). Если заряд $е$ положителен, то направления вектора В и угловой скорости вращения $\omega$ противоположны. Если же заряд $е$ отрицателен, то эти направления совпадают. Ускорение частицы направлено к центру окружности, по которой она вращается, и равно $\omega^{2} \rho$, где $\rho-$ радиус этой окружности. Значение угловой скорости $\omega$ найдется из уравнения движения $m \omega^{2} \rho=|e| B v / c$. Так как $v=\omega \rho$, то отсюда получаем $\omega=$ $=|e| B /(m c)$, или в векторной форме
\[
\omega=-\frac{e \mathbf{B}}{m c} .
\]

Величина $\omega$ называется циклотронной частотой, а $\rho-$ циклотронным или ларморовским радиусом ${ }^{1}$ ). Заметим, что формула (86.1) справедлива как для нерелятивистских, так и для релятивистских движений, если только под $m$ понимать релятивистскую массу частицы.
Рис. 195
Рис. 196
При рассмотрении общего случая, когда скорость $\mathbf{v}$ направлена под углом к магнитному полю, ограничимся нерелятивистскими скоростями. Представим скорость $\mathbf{v}$ в виде $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\|}+\mathbf{v}_{\perp}$, где $\mathbf{v}_{\|}-$скорость вдоль поля, $\mathbf{a} \mathbf{v}_{\perp}$ – перпендикулярно к нему. Движения с этими скоростями независимы. Первое есть равномерное прямолинейное движение вдоль поля со скоростью $\mathbf{v}_{\|}$, второе – равномерное вращение по окружности вокруг поля с угловой скоростью (86.1). Радиус этой окружности равен $\rho=\mathbf{v}_{\perp} / \omega$. В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 196).
4. Допустим теперь, что на постоянное однородное магнитное поле B наложено постоянное же однородное электрическое поле Е. Будем предполагать, что $E \ll B$. Только при выполнении этого условия, как будет видно из дальнейшего, движение может происходить с нерелятивистскими скоростями. Движение описывается уравнением
\[
m \dot{\mathbf{v}}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{v B}]\right) .
\]
1) Величину $\omega$ часто называют также ларморовской частотой. Однако, во избежание путаницы, мы будем называть ларморовской частотой величину, вдвое меньшую, т. е. $|e| B /(2 m c)$ (см. § 76).

Введем систему отсчета, равномерно движущуюся относительно исходной со скоростью $\mathbf{v}_{\text {д }}$. В новой системе относительная скорость частицы $\mathbf{v}^{\prime}$ удовлетворяет уравнению
\[
m \dot{\mathbf{v}}^{\prime}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}\left[\mathbf{v}^{\prime} \mathbf{B}\right]+\frac{1}{c}\left[\mathbf{v}_{\text {д }} \mathbf{B}\right]\right) .
\]

Допустим сначала, что вектор $\mathbf{E}$ перпендикулярен к магнитному полю В. Подберем скорость $\mathbf{v}_{\text {д }}$ так, чтобы выполнялось условие
\[
\mathbf{E}+\frac{1}{c}\left[\mathbf{v}_{\text {д }} \mathbf{B}\right]=0,
\]

из которого следует
\[
\mathbf{v}_{\text {д }}=c \frac{[\mathbf{E B}]}{B^{2}},
\]

а потому
\[
m \dot{\mathbf{v}}^{\prime}=\frac{e}{c}\left[\mathbf{v}^{\prime} \mathbf{B}\right] .
\]

В новой системе отсчета из уравнения относительного движения электрическое поле исключилось. Его влияние компенсировано скоростью $\mathbf{v}_{\text {д. }}$. Движение частицы происходит так, как если бы было только одно магнитное поле, т. е. по спирали. В исходной системе отсчета магнитное поле заставляет частицу равномерно вращаться по спирали. На это вращение накладывается медленное равномерное движение со скоростью $\mathbf{v}_{\text {д }}$, определяемой формулой (86.3). Такое движение называется электрическим дрейфом.

Значение скорости электрического дрейфа дается выражением $\mathbf{v}_{\text {д }}=$ $=c E / B$. При $E>B$ это выражение приводило бы к результату $\mathbf{v}_{\text {д }}>c$, что не имеет смысла. Это показывает, что нерелятивистское рассмотрение справедливо только при выполнении условия $E \ll B$, что и предполагалось выше.

Допустим теперь, что постоянное электрическое поле направлено под углом к магнитному. Разложим поле $\mathbf{E}$ на составляющую $\mathbf{E}_{\|}$вдоль $\mathbf{B}$ и на составляющую $\mathbf{E}_{\perp}$, перпендикулярную к $\mathbf{B}: \mathbf{E}=\mathbf{E}_{\|}+\mathbf{E}_{\perp}$. Тогда движение частицы представится в виде суперпозиции трех движений: 1) равноускоренного движения в направлении В ускорением $\mathbf{a}_{\|}=$ $\left.=(e / m) \mathbf{E}_{\|} ; 2\right)$ равномерного вращения по окружности вокруг $\mathbf{B}$ с угловой скоростью $(86.1) ; 3$ ) электрического дрейфа со скоростью
\[
\mathbf{v}_{\text {д }}=\frac{c}{B^{2}}\left[\mathbf{E}_{\perp} \mathbf{B}\right]=\frac{c}{B^{2}}[\mathbf{E B}] .
\]

Направление и скорость электрического дрейфа не зависят от знака заряда и массы частицы: положительные и отрицательные частицы дрейфуют совершенно одинаково. В результате сложения движений 1) и 2) возникает движение по спирали. Ось спирали направлена параллельно магнитному полю, однако шаг спирали из-за наличия ускорения $\mathbf{a}_{\|}$будет меняться во времени. Такая картина движения сохранится до тех пор, пока скорость частицы из-за наличия того же ускорения не возрастет настолько, что движение перейдет в релятивистское.

5. Заметим еще, что такое же движение в постоянном однородном магнитном поле возникает и в том случае, когда на частицу будет действовать не электрическое поле, а любая постоянная сила $\mathbf{F}$, например сила тяжести. Роль поля $\mathbf{E}$ будет играть вектор $\mathbf{F} / e$. В результате возникнет дрейфовое движение со скоростью
\[
\mathbf{v}_{\text {д }}=\frac{c}{B^{2} e}[\mathbf{F B}] .
\]

Однако теперь направление действующей силы $\mathbf{F}$ не зависит от знака заряда частицы, а потому скорости дрейфа положительных и отрицательных частиц будут направлены в противоположные стороны.
ЗАДАЧА
Исследовать релятивистское движение заряженной частицы в постоянном однородном электрическом поле.

Решение. Движение происходит в плоскости, параллельной электрическому полю $\mathbf{E}$ и начальной скорости частицы $\mathbf{v}_{0}$. Примем эту плоскость за координатную плоскость $X Y$, направив ось $X$ параллельно полю Е. Тогда уравнения движения можно записать в виде
\[
\dot{p}_{x}=e E, \quad \dot{p}_{y}=0,
\]

и, следовательно,
\[
p_{x}=e E t, \quad p_{y}=p_{0}=\mathrm{const},
\]

причем за начальный принят момент времени, когда импульс $\mathbf{p}$ направлен параллельно оси $Y$. Релятивистская масса частицы найдется из соотношения
\[
(m c)^{2}=\left(m_{0} c\right)^{2}+p^{2} .
\]

Используя его, находим уравнения для координат частицы:
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{\left(m_{0} c\right)^{2}+p_{0}^{2}+(e E t)^{2}} \frac{d x}{d t}=e E c t, \\
\sqrt{\left(m_{0} c\right)^{2}+p_{0}^{2}+(e E t)^{2}} \frac{d y}{d t}=p_{0} c,
\end{array}
\]

или
\[
d x=\frac{c t d t}{\sqrt{\tau^{2}+t^{2}}}, \quad d y=\frac{p_{0}}{e E} \frac{c d t}{\sqrt{\tau^{2}+t^{2}}},
\]

где введено обозначение
\[
\tau^{2}=\frac{\left(m_{0} c\right)^{2}+p_{0}^{2}}{(e E)^{2}} .
\]

После интегрирования получаем
\[
x=c \sqrt{\tau^{2}+t^{2}}, \quad y=\frac{p_{0} c}{e E} \operatorname{arcsh} \frac{t}{\tau} .
\]

Этими уравнениями и определяется движение. Найдя $t$ из второго уравнения и подставив в первое, получим уравнение траектории:
\[
x=c \tau \operatorname{ch} \frac{e E y}{p_{0} c} .
\]

Это – цепная линия. При $|e E y| /\left(p_{0} c\right) \ll 1$ она, как и следовало ожидать, переходит в параболу
\[
x=c \tau\left[1+\frac{e E y}{2\left(p_{0} c\right)^{2}}\right] .
\]