1. Электрический ток есть упорядоченное движение электрических зарядов. Эти заряды в учении о токах называются носителями тока. В металлах и полупроводниках носителями тока являются электроны, в электролитах и ионизационных газах – положительные и отрицательные ионы.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда все носители тока одинаковы (например, электроны в металлах). Выделим мысленно в среде, по которой течет ток, произвольный физически бесконечно малый объем и обозначим через $\mathbf{u}$ средний вектор скорости рассматриваемых носителей в этом объеме. Его называют средней, дрейфовой или упорядоченной скоростью движения носителей тока. Обозначим, далее, через $n$ концентрацию носителей тока, т. е. число их в единице объема. Проведем бесконечно малую площадку $d S$, перпендикулярную к скорости u. Построим на ней бесконечно короткий прямой цилиндр с высотой $u d t$, как указано на рис. $107 a$. Все частицы, заключенные внутри этого цилиндра, за время $d t$ пройдут через площадку $d S$, перенеся через нее в направлении скорости $\mathbf{u}$ электрический заряд $d q=n e u d S d t$, где $e-$
Рис. 107
заряд отдельной частицы. Таким образом, через единицу площади за единицу времени переносится электрический заряд $j=n e u$. Вектор
\[
\mathbf{j}=n e \mathbf{u}
\]
называется плотностью электрического тока.
Скаляр $j$ есть заряд, переносимый в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к току. Направление же вектора j совпадает с направлением упорядоченного течения положительного электричества.
В случае нескольких типов зарядов, создающих ток, плотность тока определяется выражением
\[
\mathbf{j}=\sum_{i} n_{i} e_{i} \mathbf{u}_{i},
\]
где суммирование ведется по всем типам носителей тока ( $n_{i}, e_{i}, \mathbf{u}_{i}$ означают концентрацию, заряд и упорядоченную скорость $i$-го носителя).
Установим произвольно положительное направление нормали к площадке $d S$ и проведем в этом направлении единичный вектор $\mathbf{n}$. Если частицы положительные, то переносимый заряд в направлении нормали $\mathbf{n}$ будет положительным или отрицательным в зависимости от того, движутся ли частицы в направлении вектора $\mathbf{n}$ или в противоположном направлении. Для отрицательных частиц соотношение будет обратным. Вообще, количество переносимого в единицу времени электричества можно записать в виде
\[
d q=(\mathbf{j} \mathbf{n}) d S=j_{n} d S .
\]
Последняя формула остается верной и в том случае, когда площадка $d S$ не перпендикулярна к вектору $\mathbf{j}$ (рис. 107 б). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что составляющая вектора $\mathbf{j}$, перпендикулярная к вектору $\mathbf{n}$, через площадку $d S$ электричества не переносит.
2. Одним из фундаментальных физических законов является закон сохранения электрического заряда (см. §2). Выразим его математически через макроскопические величины: плотность заряда $\rho$ и плотность электрического тока $\mathbf{j}$. Возьмем в среде произвольную замкнутую поверхность $S$, ограничивающую объем $V$ (рис. 108). Количество электричества, ежесекундно вытекающее из объема $V$ через поверхность $S$, представляется интегралом $\oint j_{n} d S$. Ту же величину можно представить в виде $-\partial q / \partial t$, где $q-$ заряд, содержащийся в объеме $V$. Приравнивая оба выражения, получим
\[
\frac{\partial q}{\partial t}=-\oint_{S} j_{n} d S .
\]
Рис. 108
(Мы употребляем символ частной производной $\partial / \partial t$, чтобы подчеркнуть, что поверхность $S$ должна оставаться неподвижной.) Представив $q$ в виде $q=\int \rho d V$ и преобразовав поверхностный интеграл в объемный $\int \operatorname{div} \mathbf{j} d V$, придем к соотношению
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int \rho d V=-\int \operatorname{div} \mathbf{j} d V .
\]
Это соотношение должно выполняться для произвольного объема $V$, а потому
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0
\]
Формулы (40.4), (40.5) и выражают закон сохранения заряда в макроскопической электродинамике. Последняя формула называется также уравнением непрерывности или уравнением неразрывности. Эти формулы входят в систему основных уравнений Максвелла, хотя и в неявном виде.
Если токи стационарны, т.е. не зависят от времени, то формулы (40.4) и (40.5) переходят в
\[
\begin{array}{c}
\oint j_{n} d S=0, \\
\operatorname{div} \mathbf{j}=0 .
\end{array}
\]
В настоящей главе рассматриваются в основном стационарные (постоянные) токи.
