1. Об электромагнитных возмущениях, или волнах, уже говорилось в §83. Там на примере плоского возмущения было выяснено, как возбуждаются электромагнитные волны, и вычислена скорость их распространения. Вернемся снова к этому вопросу, чтобы придать изложению математически более простой и систематический характер. Кроме того, мы рассмотрим некоторые новые вопросы. Многие вопросы, относящиеся к учению о волнах (отражение, преломление, интерференция, дифракция, дисперсия и пр.), мы сознательно опускаем, так как они будут подробно рассмотрены в следующем томе.

Начнем с простой механической аналогии. Если ударить по какомулибо месту натянутого шнура, то от места удара в противоположных направлениях побегут два поперечных возмущения. Рассмотрим одно из них, например возмущение, распространяющееся вправо. Положение невозмущенного натянутого шнура примем за ось $X$. Тогда каждую материальную точку шнура можно характеризовать абсциссой $x$, которую она имела на невозмущенном шнуре, а само возмущение смещением $s$ этой точки из положения равновесия, как функции координаты $x$ и времени $t: s=s(x, t)$. Однако эта функция зависит не от $x$ и $t$ в отдельности, а от определенной комбинации их, которая будет найдена ниже. На рис. 326 вверху изображено положение возмущенного шнура в момент времени $t=0$. Эта начальная форма шнура может быть представлена уравнением $s(\xi, 0)=f(\xi)$, где $\xi-$ абсцисса какойто произвольной материальной точки шнура $A(\xi)$. Через время $t$ возмущение на шнуре переместится вправо на расстояние $O O^{\prime}=v t$, где $v-c \kappa о-$ рость распространения возмущения. Это значит, что смещение $s(x, t)$ точки
Рис. 326 $A(x)$ с координатой $x$ в момент $t$ будет таким же, каким было смещение точки $A(\xi)$ с координатой $\xi$ в момент $t=0$, если только $x-\xi=v t$, т.е. $s(x, t)=s(\xi, 0)=f(\xi)=f(x-v t)$. Таким образом, опуская аргументы $x$ и $t$ в функции $s(x, t)$, находим для смещения $s$ следующее выражение:
\[
s=f(x-v t) .
\]

Следовательно, если возмущение распространяется вправо, то величина смещения $s$ зависит только от комбинации аргументов $x-v t$. Если эта комбинация остается постоянной, то будет оставаться постоянным фронта распространяющегося возмущения. Дифференцируя его по $t$, находим $d x / d t=+v$, т. е. $v$, как и должно быть, есть скорость распространения волнового фронта.

Таким же путем убеждаемся, что возмущение, распространяющееся влево, описывается уравнением
\[
s=f(x+v t) .
\]

Если же возмущение идет и вправо, и влево, то
\[
s=f_{1}(x-v t)+f_{2}(x+v t) .
\]

Вид функций $f_{1}$ и $f_{2}$ определяется начальными условиями, т. е. заданием начальной формы шнура и начального распределения скоростей, а потому может быть весьма разнообразным.
2. Можно получить уравнение, совсем не содержащее начальных условий, а потому пригодное для описания распространения любых волновых возмущений в шнуре. В этом отношении оно аналогично уравнениям Ньютона в механике, которые также не содержат начальных условий. Независимость от начальных условий связана с тем, что это уравнение (как и уравнение, выражающее второй закон Ньютона) дифференциальное. Для его получения дифференцируем выражение

(138.1) сначала по $x$, а затем по $t$ и находим
\[
\frac{\partial s}{\partial x}=f^{\prime}, \quad \frac{\partial s}{\partial t}=f^{\prime} \frac{\partial(x-v t)}{\partial t}=-v f^{\prime},
\]

где $f^{\prime}$ означает производную по аргументу $x-v t$, от которого зависит функция $f$. Исключая $f^{\prime}$, находим
\[
\frac{\partial s}{\partial x}=-\frac{1}{v} \frac{\partial s}{\partial t} .
\]

Это уравнение не содержит начальных условий. Однако оно описывает не все возмущения, а только возмущения, распространяющиеся вправо. Возмущения, распространяющиеся влево, описываются таким же уравнением, но со знаком плюс в правой части. Для нахождения уравнения, справедливого для обоих возмущений, а также их суперпозиции (138.3), дифференцируем вторично и находим
\[
\frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}, \quad \frac{\partial^{2} s}{\partial t^{2}}=-v f^{\prime \prime} \frac{\partial(x-v t)}{\partial t}=v^{2} f^{\prime \prime},
\]

или после исключения $f^{\prime \prime}$
\[
\frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} s}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Легко убедиться, что такому же уравнению удовлетворяет и возмущение (138.2), а также более общее возмущение (138.3). Дифференциальное уравнение (138.4) называется волновым уравнением. Оно справедливо для любых возмущений, распространяющихся в шнуре.

Выражение (138.3), в котором $f_{1}$ и $f_{2}$ – произвольные функции, есть общее решение волнового уравнения (138.4). Чтобы убедиться в этом, введем новые независимые переменные $\xi=x-v t$ и $\eta=x+v t$. В этих переменных уравнение (138.4) принимает вид
\[
\frac{\partial^{2} s}{\partial \xi \partial \eta}=0 \text {. }
\]

Общее решение его $s=f_{1}(\xi)+f_{2}(\eta)$, и наше утверждение доказано. Следовательно, всякий процесс, описываемый волновым уравнением (138.4), в общем случае представляет собой два возмущения, распространяющихся со скоростью $v$ в противоположных направлениях оси $X$.
3. Приведем два примера на применение уравнения (138.4). Выведем уравнение малых поперечных колебаний гибкого натянутого шнура, исходя из уравнений механики. Будем считать, что вся упругость шнура вызвана его натяжением $T$, упругостью формы пренебрегаем. На элемент $A B$ шнура (рис. 327) слева действует сила
Рис. 327
натяжения $T(x)$. Ее вертикальная составляющая будет $-T(x) \operatorname{tg} \alpha=$ $=T(x) \partial s / \partial x$ (положительное направление выбрано вверх). Аналогичная сила действует на правый конец элемента $A B$. Результирующая этих двух сил будет
\[
\left(T \frac{\partial s}{\partial x}\right)_{B}-\left(T \frac{\partial s}{\partial x}\right)_{A}=\frac{\partial}{\partial x}\left(T \frac{\partial s}{\partial x}\right) d x .
\]

Для малых колебаний угол $\alpha$ будет мал, и можно пренебречь изменением натяжения $T$ вдоль шнура. В этом приближении предыдущее выражение переходит в $T \frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}} d x$. Кроме того, можно также пренебречь изменениями линейной плоскости шнура $\delta$ при его удлинениях и сжатиях. Приравняв массу элемента $\delta d x$, умноженную на его ускорение $\partial^{2} s / \partial t^{2}$, действующей силе, находим
\[
\delta \frac{\partial^{2} s}{\partial t^{2}}=T \frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}} .
\]

Это уравнение совпадает с (138.4), а потому для скорости распространения $v$ в шнуре получаем
\[
v=\sqrt{T / \delta} .
\]

Такая формула уже была выведена нами другим способом (см. т. I, § 84). Совершенно так же могут быть выведены формулы для скорости распространения упругих возмущений в стержнях, в неограниченных упругих средах, а также в жидкостях и газах (см. т. I, § 81, 83, 85).

В качестве второго примера рассмотрим плазму в постоянном магнитном поле $B$, обладающую достаточно высокой проводимостью. Выделим в ней какую-либо тонкую силовую трубку. Если плазма сместится поперек магнитного поля, то благодаря высокой проводимости ее магнитный поток через поперечное сечение трубки сохранится (см. §71). Магнитные силовые линии как бы вморожены в вещество и движутся вместе с ним. Но вдоль магнитной трубки действует максвелловское натяжение $\tau=B^{2} / 8 \pi$. Поэтому в плазме вдоль магнитных силовых линий могут распространяться поперечные возмущения, аналогичные возмущениям в натянутом шнуре. Такие возмущения называются магнитогидродинамическими или алъфвеновскими волнами. Они были теоретически предсказаны Альфвеном (р. 1908). Есть, однако, отличие гидродинамических волн от волн в натянутом шнуре. Оно состоит в том, что магнитная силовая трубка подвергается не только продольному натяжению, но и равному ему боковому давлению (рис. $328 a$ ). Однако боковое давление легко исключить. Для этого к основаниям элемента трубки надо приложить натяжение $\tau$ и равное ему давление. Эти напряжения ничего не меняют, так как они взаимно компенсируют друг друга. Но тогда система максвелловских натяжений сведется к продольному натяжению $2 \tau=B^{2} / 4 \pi$ и всестороннему давлению $\tau$ (рис. 328 б). Всестороннее давление на распространение поперечных возмущений не влияет. Поэтому можно воспользоваться формулой (138.5), полагая в ней $T=$ $=2 S \tau, \delta=S \rho$, где $S$ – площадь поперечного сечения магнитной трубки, а $\rho$ – плотность плазмы. Таким путем для скорости распространения магнитогидродинамических волн найдем
\[
v=\frac{B}{\sqrt{4 \pi \rho}} .
\]
4. Уравнение (138.4) есть «одномерное» волновое уравнение, поскольку оно относится к распространению процессов только вдоль одного направления, а величина $s$, характеризующая описываемый процесс, зависит только от одной пространственной координаты $x$ и времени $t$. Волновые процессы, распространяющиеся в пространстве, описываются «трехмерным» волновым уравнением
\[
\frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} s}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} s}{\partial z^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} s}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Однако, как правило, мы этим уравнением пользоваться не будем.