1. Исследуем теперь зависимость коэффициентов ионизации $\alpha$ и $\beta$ от напряженности электрического поля $E$ и давления газа $\mathscr{P}$. Для определенности будем иметь в виду электроны. Примем вместе с Таунсендом, что при каждом столкновении электрон теряет скорость, которую он приобрел в электрическом поле. Чтобы электрон мог ионизовать газ, он должен на пути свободного пробега $x$ приобрести энергию, не меньшую энергии ионизации, т. е. величина $x$ должна удовлетворять условию $x E \geqslant V_{i}$, где $V_{i}$ – потенциал ионизации. Примем, что все такие электроны ионизуют газ. Возьмем пучок из $N_{0}$ электронов, которые начали двигаться в электрическом поле $E$ с нулевой начальной скоростью. Как известно из кинетической теории газов (см. т. II, § 88), среднее число электронов, проходящих путь $x$ без столкновений, будет $N=N_{0} e^{-x / \bar{l}}$ где $\bar{l}-$ средняя длина свободного пробега электрона. Если взять $x=V_{i} / E$, то, согласно нашему предположению, все такие электроны будут ионизовать газ. На пути 1 см электрон испытывает в среднем $1 / \bar{l}$ столкновений, так что на этом пути все $N$ электронов вызовут $N / \bar{l}=\left(N_{0} / \bar{l}\right) e^{-x / \bar{l}}$ ионизаций. Среднее число ионизаций, производимое на том же пути одним электроном, будет
\[
\alpha=(1 / \bar{l}) e^{-V_{i} / E \bar{l}} .
\]

Это и есть коэффициент ионизации. Средняя длина свободного пробега $\bar{l}$ обратно пропорциональна давлению газа: $\bar{l}=1 /(A \mathscr{P})$, так что
\[
\alpha=A \mathscr{P} e^{-B \mathscr{P} / E},
\]

где $A$ и $B$ – постоянные. Отсюда следует, что
\[
\frac{\alpha}{\mathscr{P}}=f\left(\frac{E}{\mathscr{P}}\right),
\]
т. е. отношение $\alpha / \mathscr{P}$ зависит не от $E$ и $\mathscr{P}$ в отдельности, а только от их комбинации $E / \mathscr{P}$. Понятно, что этот результат, пока функция $f$ не фиксирована, является более общим, чем результат (116.1). Таунсенд экспериментально подтвердил справедливость соотношения (116.2) для ряда газов. Более поздние исследования показали, что при давлениях, больших атмосферного, это соотношение удовлетворяется значительно хуже, чем для низких давлений, а при высоких давлениях перестает быть верным.

Простым дифференцированием по $\mathscr{P}$ легко убедиться, что при заданном значении $E$ выражение (116.1) достигает максимума при $\mathscr{P}=$ $=E / B$. Максимальное значение $\alpha$ при этом оказывается равным
\[
\alpha_{\text {макс }}=\frac{A}{e B} E,
\]

где $e$ – основание натуральных логарифмов. Таким образом, максимальное значение $\alpha$ при заданной напряженности электрического поля $E$ пропорционально этой напряженности. Опыт подтверждает и эту зависимость.

Разумеется, все выведенные соотношения справедливы и для положительных ионов.
2. Обратимся теперь к условию зажигания разряда (115.15). Для простоты предположим, что вторичная эмиссия электронов с катода роли не играет $(\gamma=0)$. Тогда (115.15) переходит в
\[
\beta e^{(\alpha-\beta) l}-\alpha=0 .
\]

Подставим сюда
\[
\alpha=\mathscr{P} f\left(\frac{V}{l \mathscr{P}}\right), \quad \beta=\mathscr{P} f_{1}\left(\frac{V}{l \mathscr{P}}\right),
\]

где $V$ – напряжение на трубке. Тогда после сокращения на $\mathscr{P}$ мы придем к уравнению вида
\[
F\left(\frac{V}{l \mathscr{P}}\right)=0,
\]

где $F$ – некоторая функция аргумента $V / l \mathscr{P}$. Решая это уравнение, найдем «потенциал зажигания» $V_{\text {заж }}=V_{\text {заж }}(l \mathscr{P})$. Отсюда следует, что разность потенциалов между электродами трубки, при которой начинается пробой газа, есть функция произведения давления газа $\mathscr{P}$ на расстояние между электродами. Если в нескольких разрядных трубках с плоскими электродами создать условия, при которых произведения $\mathscr{P} l$ постоянны, то для всех трубок потребуется одна и та же разность потенциалов, чтобы вызвать газовый разряд. Этот закон был установлен экспериментально Пашеном (1865-1947) еще до создания Таунсендом теории пробоя газа.

Закон Пашена можно вывести и из более общего условия пробоя (115.15), если только $\gamma$, наряду с $\alpha / \mathscr{P}$ и $\beta / \mathscr{P}$, также является функцией $E / \mathscr{P}$. Такое предположение весьма правдоподобно, так как оно означает, что $\gamma$ есть функция лишь кинетической энергии, приобретаемой в среднем положительным ионом на каждом свободном пробеге перед ударом о катод. При высоких давлениях газа (порядка сотен атмосфер) наблюдаются отступления от закона Пашена.