1. Теореме о циркуляции можно придать дифференциальную форму, эквивалентную интегральной форме (55.4) или (55.5). С этой целью применим теорему о циркуляции к бесконечно малому прямоугольному контуру $A B C D$ со сторонами $d y$ и $d z$, плоскость которого перпендикулярна к оси $X$ (рис. 140). Вклад в циркуляцию, вносимый стороной $A B$, равен $B_{y}(x, y, z) d y$. Противоположная сторона $C D$ вносит в циркуляцию слагаемое $-B_{y}(x, y, z+$ $+d z) d y$. Сумма этих величин равна
\[
\begin{aligned}
-B_{y}(x, y, z+ & d z) d y+B_{y}(x, y, z) d y= \\
& =-\frac{\partial B_{y}}{\partial z} d y d z=-\frac{\partial B_{y}}{\partial z} d S,
\end{aligned}
\]

Рис. 140
где $d S=d y d z$ – площадь прямоугольника $A B C D$. Аналогично, стороны $B C$ и $A D$ вносят в циркуляцию слагаемое $+\frac{\partial B_{z}}{\partial y} d S$. Полная циркуляция будет
\[
\oint B_{s} d s=\left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}\right) d S .
\]

По теореме о циркуляции та же величина равна $4 \pi j_{x} d S / c$, так как $j_{x} d S$ есть полный ток, пронизывающий контур $A B C D$. Приравнивая оба выражения, придем к уравнению
\[
\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=\frac{4 \pi}{c} j_{x}
\]

Аналогично,
\[
\frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x}=\frac{4 \pi}{c} j_{y}, \quad \frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}=\frac{4 \pi}{c} j_{z} .
\]

Умножив эти уравнения на координатные орты $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ и сложив, получим
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j} .
\]

Это – одна из важнейших формул в учении об электричестве. Символом $\operatorname{rot} \mathbf{B}$ обозначен вектор
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B} \equiv\left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}\right) \mathbf{e}_{x}+\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x}\right) \mathbf{e}_{y}+\left(\frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}\right) \mathbf{e}_{z} .
\]

Дифференциальное выражение (56.2) играет важную роль во многих разделах математики и физики. Оно называется ротором вектоpa В. Формально $\operatorname{rot} \mathbf{B}$ можно рассматривать как векторное произведение дифференциального оператора набла
\[

abla=\mathbf{e}_{x} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{e}_{y} \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{e}_{z} \frac{\partial}{\partial z}
\]

на вектор $\mathbf{B}$, т. е.
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B} \equiv[
abla \mathbf{B}] \equiv\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{e}_{x} & \mathbf{e}_{y} & \mathbf{e}_{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right|
\]
2. Векторные поля, ротор которых не равен нулю, называются вихревыми полями. Формула (56.1) показывает, что магнитное поле В является вихревым во всех областях пространства, где текут электрические токи, и безвихревым, где токов нет. В последнем случае вектор В может быть представлен в виде градиента магнитного потенциала. Такое представление, однако, невозможно в тех областях, где текут токи. Там понятие магнитного потенциала лишено смысла. Действительно, из соотношений (18.4) и (56.2) нетрудно получить тождество
\[
\operatorname{rot} \operatorname{grad} \varphi \equiv 0,
\]

какова бы ни была функция $\varphi$. Если бы магнитное поле представлялось выражением $\mathbf{B}=-\operatorname{grad} \varphi_{m}$, то из этого тождества мы получили бы $\operatorname{rot} \mathbf{B}=0$. Следовательно, плотность тока $\mathbf{j}$ должна была бы обращаться в нуль, как это следует из сравнения соотношения $\operatorname{rot} \mathbf{B}=0$ с формулой (56.1). Это и доказывает наше утверждение.

Основные уравнения магнитного поля постоянных токов в вакууме могут быть записаны в виде
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}, \quad \operatorname{div} \mathbf{B}=0 .
\]

Сравним их с основными уравнениями электростатического поля в вакууме:
\[
\operatorname{rot} \mathbf{E}=0, \quad \operatorname{div} \mathbf{E}=4 \pi \rho .
\]

Из этих уравнений видно, что электростатическое поле всегда потенциально, его источниками являются неподвижные электрические заряды. Магнитное поле, напротив, не потенциально, а соленоидально, его источниками служат электрические токи.
3. Приведем в заключение математическую теорему Стокса (1819-1903), широко используемую в математических преобразованиях теории поля. Эта теорема гласит:
\[
\oint(\mathbf{A} d s)=\int(\operatorname{rot} \mathbf{A} d S),
\]

где $\mathbf{A}$ – произвольный вектор. Интеграл слева берется по произвольному замкнутому контуру $s$, справа – по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Имея в виду прием, указанный на рис. 140, достаточно доказать формулу (56.7) для бесконечно малого контура. Бесконечно малый контур можно рассматривать как плоский. Пусть $\mathbf{n}$ – единичная нормаль к плоскости такого контура, а $\mathbf{N}$ – единичная нормаль к самому контуру, лежащая в его плоскости (рис. 141). Введем вектор $\mathbf{C}=[\mathbf{A n}]$, получающийся из А путем поворота вокруг нормали п. Ясно, что вектор $\mathbf{C}$ лежит в плоскости контура. Применим к нему математическую формулу ГауссаОстроградского
\[
\oint(\mathbf{C N}) d s=\int \operatorname{div} \mathbf{C} d S .
\]

Легко показать, что $\operatorname{div} \mathbf{C}=\operatorname{div}[\mathbf{A n}]=\mathbf{n} \operatorname{rot} \mathbf{A}$. Кроме того,
\[
(\mathbf{C N})=[\mathbf{A n}] \mathbf{N}=\mathbf{A}[\mathbf{n N}]=(\mathbf{A} \tau),
\]

где $\tau=[\mathbf{n N}]$ – единичный вектор касательной к контуру $s$. В результате получим
\[
\oint(\mathbf{A} \tau) d s=\int(\mathbf{n} \operatorname{rot} \mathbf{A}) d S,
\]

что и доказывает теорему. Из доказанного следует:
\[
\operatorname{rot}_{n} \mathbf{A}=\lim _{S \rightarrow 0} \frac{1}{S} \oint(\mathbf{A} d \mathbf{s}) .
\]

Этим дается инвариантное определение проекции ротора $\mathbf{A}$ на направление произвольного вектора $\mathbf{n}$, а следовательно, и инвариантное определение самого ротора.