1. Рассмотрим тонкий замкнутый провод, по которому течет постоянный ток $I$ (рис. 164). Пусть В – магнитное поле этого тока. Внутри провода параллельно его оси проведем произвольный замкнутый математический контур $s$ и установим на нем положительное направление. Пусть $\Phi$ – магнитный поток, посылаемый вектором В через контур $s$. Если в пространстве нет ферромагнитных тел, то величины В и $\Phi$ будут пропорциональны току, и можно написать
\[
\Phi=L I^{(m)}=\frac{1}{c} L I .
\]

Здесь $I$ – сила тока в гауссовой системе единиц, а $I^{(m)}$ – сила того же тока в системе СГСМ. Коэффициент $L$ не зависит от силы тока. Он определяется только размерами и конфигурацией самого провода и называется индуктивностъю этого провода. Его называют также самоиндукцией, или коэффициентом самоиндукции провода. Это определение содержит известный элемент неопределенности, поскольку точно не фиксировано, как внутри провода проведен вспомогательный математический контур $s$. Но для тонкого провода эта неопределенность пренебрежимо мала и не имеет никакого значения. Кроме того, от нее можно полностью освободиться, что будет сделано в § 69 . Для краткости величину $\Phi$ называют просто магнитным потоком через рассматриваемый замкнутый провод. Однако точный смысл этого понятия раскрывается введением вспомогательного математического контура $s$, как сделано выше.

При вычислении индуктивности тонкий провод нельзя заменить проводом бесконечно тонким – геометрической линией. Действительно, в этом случае магнитное поле вблизи провода было бы пропорционально $1 / r$, где $r$ – расстояние до провода. Для магнитного потока и индуктивности мы получили бы бесконечные значения. Чем тоньше провод, тем при прочих равных условиях больше его индуктивность.
2. Для примера вычислим индуктивность соленоида, пренебрегая при этом краевыми эффектами. Пусть $l$ – длина соленоида, $N$ – общее число витков, $S$ – площадь одного витка. Индукция магнитного поля внутри соленоида
\[
B=\frac{4 \pi}{c} \frac{I N \mu}{l} .
\]

Магнитный поток через один виток равен $B S$, а через $N$ витков $B S N$, т. е.
\[
\Phi=\frac{4 \pi}{c} \frac{\mu N^{2} S}{l} I .
\]

Сравнивая эту формулу с формулой (68.1), получим
\[
L=\frac{4 \pi \mu N^{2} S}{l} .
\]
3. За единицу магнитного потока в гауссовой системе единиц и в системе СГСМ принимают максвелл. Максвелл есть магнитный поток, создаваемый магнитным полем в один гаусс через перпендикулярную к нему площадку в один квадратный сантиметр. Как следует из закона Био и Савара
\[
d \mathbf{B}=\frac{I}{c r^{3}}[d \mathbf{l} \mathbf{r}]
\]

магнитный поток имеет размерность величины $I 1 / c$. Учитывая это, из формулы (68.1) находим, что в гауссовой системе и СГСМ коэффициент самоиндукции имеет размерность длины. Его единица в этих системах называется сантиметром. Сантиметр есть индуктивность такого витка, в котором ток силой в одну СГСМ-единицу создает магнитный поток в один максвелл. Формула (68.2) дает индуктивность соленоида в сантиметрах.

В практических единицах (вольт, ампер, ом и т. д.) закон электромагнитной индукции и формулу (68.1) записывают в виде
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{E}^{\prime \text { инд }}=\frac{d \Phi^{\prime}}{d t}, \\
\Phi^{\prime}=L^{\prime} I^{\prime} .
\end{array}
\]

Над всеми буквами здесь поставлены штрихи, которые означают, что величины, обозначаемые этими буквами, измеряются в практических единицах. Практической единицей магнитного потока является вебер. Эта единица определяется условием, чтобы при скорости изменения магнитного потока в 1 Вб/с в контуре возбуждалась электродвижущая сила в один вольт. Можно также сказать, что вебер есть вольт-секунда. Найдем соотношение между вебером и максвеллом. В гауссовой системе
\[
\mathscr{E}^{\text {инд }}=-\frac{1}{c} \frac{d \Phi}{d t} .
\]

Так как $1 \mathrm{~B}=\frac{1}{300}$ СГСЭ-ед. напряжения (приближенно), то
\[
\mathscr{E}^{\prime \text { инд }} \text { (вольты) }=10^{-8} \frac{d \Phi \text { (максвеллы) }}{d t} \text { (точно). }
\]

Сопоставляя эту формулу с формулой (68.3), видим, что вебер в $10^{8}$ раз больше максвелла:
\[
1 \text { Вб }=10^{8} \text { Мкс. }
\]

Практической единицей индуктивности является генри. Это есть индуктивность такого провода, в котором при силе тока в один ампер возбуждается магнитный поток в один вебер:
\[
1 \Gamma=\frac{1 \mathrm{Bб}}{1 \mathrm{~A}}=\frac{10^{8} \mathrm{Mкс}}{\frac{1}{10} \text { СГСМ-ед. тока }}=10^{9} \mathrm{cm.}
\]
4. Рассмотрим явления при замыкании и размыкании постоянного тока, обусловленные индуктивностью цепи. Пусть цепь состоит из источника постоянной ЭДС $\mathscr{E}$, катушки самоиндукции и омического сопротивления (рис. 165). Полную индуктивность цепи обозначим через $L$, а полное сопротивление – через $R$. При замыкании ключа $K$ ток не сразу достигает предельного значения $\mathscr{E} / R$, определяемого законом Ома, а нарастает постепенно. При этом возрастает также магнитный поток, пронизывающий контур цепи. Возникает электродвижущая сила индукции и соответствующий ей индукционный ток. Этот ток называется экстратоком замыкаРис. 165 ния. Согласно правилу Ленца направление экстратока замыкания противоположно направлению основного тока.

Сила переменного тока не обязательно должна быть одной и той же на всех участках провода, так как в отдельных местах возможно накопление электрических зарядов. Однако мы рассмотрим здесь только такие переменные токи, которые меняются во времени сравнительно медленно. Тогда мгновенные значения токов во всех участках неразветвленной цепи с высокой степенью точности одикаковы, а магнитные поля внутри проводов могут вычисляться по закону Био и Савара, как если бы токи были постоянными. Такие токи называются квазистационарными. Для них справедливы формулы (68.3) и (68.4). Сила тока определяется выражением
\[
I=\frac{\mathscr{E}+\mathscr{E}^{\text {инд }}}{R} .
\]

В практических единицах
\[
I^{\prime}=\frac{\mathscr{E}^{\prime}-d \Phi / d t}{R^{\prime}} .
\]

Это – дифференциальное уравнение для квазистационарных токов. Его можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(L^{\prime} I^{\prime}\right)+R^{\prime} I^{\prime}=\mathscr{E}^{\prime} .
\]

Если за время изменения тока провода не деформируются, то индуктивность $L^{\prime}$ постоянна и может быть вынесена из-под знака производной:
\[
L^{\prime} \frac{d I^{\prime}}{d t}+R^{\prime} I^{\prime}=\mathscr{E}^{\prime}
\]

При постоянном значении $\mathscr{E}^{\prime}$ общее решение этого уравнения имеет вид
\[
I^{\prime}=C \exp \left(-\frac{R^{\prime}}{L^{\prime}} t\right)+\frac{\mathscr{E}^{\prime}}{R^{\prime}} .
\]

Постоянная интегрирования $C$ должна определяться из начального условия: в момент замыкания, т. е. при $t=0$, ток равен нулю. Используя это условие, без труда находим
\[
I=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-t / \tau}\right),
\]

где $\tau$ – постоянная, имеющая размерность времени:
\[
\tau=\frac{L^{\prime}}{R^{\prime}} .
\]

Она называется временем установления тока. В формуле (68.8) всюду опущены штрихи, так как эта формула применима в любой системе единиц. Меняется только выражение для времени установления тока. В гауссовой системе единиц
\[
\tau=\frac{L}{c^{2} R} .
\]

Полный ток $I$ состоит из двух слагаемых, из которых второе, т.е. $-(\mathscr{E} / R) e^{-t / \tau}$, определяет силу экстратока замыкания. При $t \rightarrow \infty$ экстраток стремится к нулю, а полный ток $I$ – к своему предельному значению $\mathscr{E} / R$. Таким образом, окончательное значение тока устанавливается постепенно. Быстрота установления определяется временем $\tau$ : по истечении времени $\tau$ сила экстратока убывает в $е$ раз.
5. Исследуем теперь процесс размыкания тока. Схема опыта изображена на рис. 166. Ключ $K$ сначала замкнут. Направления токов
Рис. 166 показаны сплошными стрелками. Общий ток распределяется между параллельно включенными самоиндукцией $L$ и омическим сопротивлением $R$. Если внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало, то ток в катушке самоиндукции будет равен $I_{0}=\mathscr{E} / r$. После размыкания ключа $K$ замкнутым останется только контур $A B C D$. Первоначальный ток, существовавший в катушке самоиндукции, обладал определенным запасом магнитной энергии, которая исчезает не сразу. Магнитное поле начнет убывать.

Это возбудит электродвижущую силу и индукционный ток в контуре $A B C D$. Такой ток называется экстратоком размыкания. На рис. 166 его направление показано пунктирными стрелками. В катушке самоиндукции экстраток течет в том же направлении, что и первоначальный ток, в остальных участках контура $A B C D$ – в противоположном направлении. Если $R^{\prime}$ – общее сопротивление контура $A B C D$, то сила тока определится из дифференциального уравнения
\[
L^{\prime} \frac{d I^{\prime}}{d t}+R^{\prime} I^{\prime}=0
\]

и начального условия: $I^{\prime}=I_{0}^{\prime}$ при $t=0$. Это дает
\[
I^{\prime}=I_{0}^{\prime} e^{-t / \tau},
\]

где $\tau$ определяется прежним выражением (68.9). Электродвижущая сила индукции равна
\[
\mathscr{E}^{\prime \text { инд }}=-L^{\prime} \frac{d I^{\prime}}{d t}=\frac{L^{\prime} I_{0}^{\prime}}{\tau} e^{-t / \tau}=\frac{R^{\prime}}{r^{\prime}} \mathscr{E}^{\prime} e^{-t / \tau} .
\]

Если $R^{\prime} \gg r^{\prime}$, то эта величина может значительно превзойти ЭДС батареи. В этом причина электрического пробоя, наблюдающегося иногда при выключении тока в цепях, содержащих большие индуктивности.

Для демонстрации явления можно взять катушку длиной 50-60 см и диаметром 8-10 см с сердечником из железных прутьев и обмоткой из нескольких слоев проволоки диаметром около 1 мм. Параллельно катушке присоединена лампочка, как указано на рис. 166 штриховой линией. Лампочка рассчитана на напряжение, несколько превышающее ЭДС батареи. (При ЭДС батареи в 4 В можно, например, взять лампочку на 12 В.) При замкнутой цепи лампочка горит тускло. При размыкании ключа $K$ она ярко вспыхивает и даже может перегореть, так как ЭДС индукции превосходит в несколько раз ЭДС батареи.
6. Рассмотрим теперь два витка (или две катушки), по которым текут постоянные токи $I_{1}$ и $I_{2}$. Установим произвольно на этих витках положительные направления обхода. Если в окружающем пространстве нет ферромагнетиков, то магнитные потоки через витки $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ пропорциональны токам и могут быть представлены в виде
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{1}=\frac{1}{c} L_{11} I_{1}+\frac{1}{c} L_{12} I_{2}, \\
\Phi_{2}=\frac{1}{c} L_{21} I_{1}+\frac{1}{c} L_{22} I_{2} .
\end{array}
\]

Коэффициенты $L_{11}, L_{12}, L_{21}, L_{22}$ не зависят от токов, а определяются лишь формой, размерами и взаимным расположением витков. Они называются коэффициентами индуктивности. Если $I_{2}=0$, то $\Phi_{1}=$ $=L_{11} I_{1} / c$; если $I_{1}=0$, то $\Phi_{2}=L_{22} I_{2} / c$. Поэтому $L_{11}$ есть индуктивность первого, а $L_{22}$ – второго витков. Оставшиеся два коэффициента $L_{12}$ и $L_{21}$ называются взаимными индуктивностями или коэффиииентами взаимной индукции. Они, разумеется, измеряются теми же единицами, что и коэффициенты самоиндукции. В практической системе и системе СГСМ множитель $c$ в формулах (68.13) опускают.

Распространение этих понятий на случай системы произвольного числа проволочных витков совершенно тривиально и не нуждается в пояснении. В следующем параграфе будет доказано соотношение $L_{i k}=L_{k i}$, называемое теоремой взаимности.